圖1：吸引力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
角速度 比藍行星快三倍，因此需要更強的向心力 ，這是由立方反比吸引力給出。固定不動的紅行星依靠立方反比排斥力來抵銷吸引力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
GIF版本 。 圖2：綠行星和藍行星的公轉 軌道的半徑相同，但是綠行星的角速度是藍行星的
k
{\displaystyle k\,\!}
在經典力學 裏，牛頓旋轉軌道定理 （Newton's theorem of revolving orbits ）辨明哪種連心力 能夠改變移動粒子的角速度 ，同時不影響其徑向運動（圖1和圖2）。艾薩克·牛頓 應用這理論於分析軌道的整體旋轉運動（稱為拱點進動 ，圖3）。月球和其他行星的軌道都會展現出這種很容易觀測到的旋轉運動。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為「力中心點」。「徑向運動」表示朝向或背向力中心點的運動，「角運動」表示垂直於徑向方向的運動。
發表於1687年，牛頓在巨著《自然哲學的數學原理 》，第一冊命題43至45裏，推導出這定理。在命題43裏，他表明只有連心力才能達成此目標，這是因為感受連心力作用的粒子，其運動遵守角動量守恆定律 。在命題44裏，他推導出這連心力的特徵方程式，證明這連心力是立方 反比作用力，與粒子位置離力中心點的徑向距離
r
{\displaystyle r\,\!}
三次方 成反比。在命題45裏，牛頓假定粒子移動於近圓形軌道，將這定理延伸至任意連心力狀況，並提出牛頓拱點進動定理 （Newton's apsidal precession theorem ）。
天文物理學家蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡 在他的1995年關於《自然哲學的數學原理》的評論中指出，雖然已經過了三個世紀，但這理論仍然鮮為人知，有待發展[1] 唐納德·淩澄-貝爾 （Donald Lynden-Bell ）與合作者曾經研究過這理論[2] [3] 費紹·瑪侯嵋 （Fazal Mahomed ）與F·娃達 （F. Vawda ）共同貢獻出這理論的延伸的精確解[4]
歷史背景 從地球觀看到的火星 的逆行運動圖案。 圖3：行星繞著太陽的公轉軌道呈橢圓形 （卵形 ）。隨著時間演進，這軌道會緩慢地旋轉（稱為拱點進動 可視化 ，這橢圓軌道的離心率 已被增大。在太陽系 裏，大多數的軌道的離心率比較小的多，看起來接近圓形。GIF版本 過去幾千年來，天文學家有系統地觀測天空中的星體 運動，發現各種各樣的恆星 有規律地繞行，相對位置永遠保持不變。可是，也有一些星體被觀測到「漫遊」於這些以恆星為背景的前方，其軌跡比較難以捉摸，大多數這種星體被稱為行星 。雖然它們通常沿著一條路徑循著同樣方向從天空的這一端移動到那一端（請參閱黃道 ），但是某些獨特的行星有時候會短暫地逆轉其移動方向，顯示出逆行運動 。[5]
為了描述這種忽前忽後的運動，阿波羅尼奧斯 （西元前262年–前190年）提出均輪與本輪 的概念。按照這概念，行星的本身繞行的軌跡為一個圓圈，而這個圓圈的圓心又循著另一個圓圈的軌跡繞行；如此這般一個搭著一個，就像兒童樂園裏的咖啡杯遊戲一樣。任意軌道可以用足夠數量、仔細設定的本輪來模擬，因為這方法對應於現代的傅立葉變換 [6] 托勒密 編纂出《天文學大成 》。在這本書裏，他發展出來的系統能夠比美那時代最準確的天文觀測。托勒密採用亞里斯多德 的地心學說 來解釋自己發展出來的系統。地心學說強調行星只能運行於以地球為圓心的同心圓球面 。之後的一千多年，學術界公認這是最正確的宇宙模型。
在16世紀，由於天文學家第谷·布拉赫 和物理學家約翰內斯·克卜勒 的共同努力，研究出許多關於行星運動的科學理論。經過多年披星戴月、不眠不休地細心觀測，第谷獲得許多非常準確的行星運動數據。第谷慷慨無私地將這些數據托付給克卜勒，使他能夠專心研究這些數據，因而推論出關於行星運動的克卜勒定律 。[7] 太陽系 裏，各個行星繞著太陽（不是地球）公轉；這公轉軌道的形狀是橢圓形，而不是本輪形。克卜勒第二定律和第三定律更給出具體的預測數值：在相等時間內，太陽和公轉中的行星的連線所掃過的面積都是相等的（稱此連線為行星的「連心線」）；繞著太陽的各個行星，其公轉周期 的平方 與其橢圓軌道的半長軸 的立方 成正比。[8] 長軸 也會隨著時間演進而緩慢地旋轉。軌道近拱點和遠拱點分別是行星的公轉軌道離橢圓焦點（力中心點）最近或最遠的位置，又共稱為拱點 。對於繞著太陽的行星的公轉軌道，近日點 和遠日點 都是拱點。[9]
大約80年後，於1687年，牛頓發表了《自然哲學的數學原理 》。在這本巨著裏，牛頓創建的物理理論能夠完全解釋克卜勒的三條定律。這理論建構於牛頓運動定律 和牛頓萬有引力定律 。牛頓提出，任意兩個物體彼此之間相互作用的重力 是一種連心力，大小與這兩個物體各自的質量 乘積成正比，與這兩個物體之間的距離 平方成反比。從他的運動定律來論述，感受到這種作用力的任意粒子的軌道是圓錐曲線 ，更明確地說，假若這軌道不延伸至無窮遠，則必會呈橢圓形。可是，這結論只成立於當系統裏只有兩個物體（二體問題 ）的案例。在牛頓之後已有幾百年了，雖然科學家能夠找到一些特別案例的解答，像歐拉三體問題 [10] 三體問題 、多體問題 ）仍舊無解[11] [12] 月亮 繞著地球的橢圓形公轉軌道，所牽涉到的作用力，極大部分是地球重力，而太陽的重力和其它太陽系的天體的重力都可以被忽略。但是牛頓也表明，行星軌道和月球軌道的拱點進動是這些被忽略的作用力所造成的；特別是月球軌道的拱點進動是因為太陽重力的微擾效應 所產生的現象。[13]
牛頓旋轉軌道定理是牛頓第一次嘗試研究拱點進動的成果。根據這定理，增添某種連心力（立方反比力）可以使得公轉軌道繞著力中心點旋轉，能夠將繞著力中心點公轉的粒子的角速度乘以因子
k
{\displaystyle k\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
離心率 橢圓軌道；在太陽系裏，大多數軌道都是這種軌道。為了找到這近似值，牛頓發展出一種無窮級數 ，可以視為泰勒展開 的前驅[14] 亞歷克西斯·克萊羅 於1747年研究出一個比較準確的模型[15] 喬治·希爾 [16] 歐尼斯特·布朗 （Ernest Brown ）[17] 查爾斯-尤斤·德朗奈 [18]
牛頓旋轉軌道定理不僅可以解釋拱點進動，其涉及的範圍極為廣博。這定理能夠描述將立方反比力增添於任意連心力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
萬有引力 或庫侖力 般的簡單的平方反比作用力，而是相當複雜的未知力。如同數學概述 章節表明，這定理便利地簡化了經典力學軌道問題：在分析粒子的運動軌道時，不需先行考慮立方反比力，就可以計算分別表達徑向運動和角運動的軌道方程式
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
ω
2
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}=k\omega _{1}\,\!}
其中，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
數學概述 圖4：三個行星的徑向運動相同，但是分別以不同的角速度公轉。只感受到平方反比作用力的藍行星移動於橢圓軌道（
k
=
1
{\displaystyle k=1\,\!}
k
=
3
{\displaystyle k=3\,\!}
k
=
0
{\displaystyle k=0\,\!}
圖9 展示綠行星和藍行星的軌道。GIF版本 圖5：綠行星的角速度是藍行星的三分之一（
k
=
1
/
3
{\displaystyle k=1/3\,\!}
圖10 展示綠行星和藍行星的軌道。GIF版本 設定一個感受到任意連心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
平面運動 ，粒子的位置可以以極坐標
(
r
,
θ
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1})\,\!}
原點 於力中心點。隨著時間的演進，移動於軌道的粒子的極坐標是時間
t
{\displaystyle t\,\!}
(
r
(
t
)
,
θ
1
(
t
)
)
{\displaystyle (r(t),\theta _{1}(t))\,\!}
設定另一個感受到連心力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
(
t
)
=
k
θ
1
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
[19]
F
2
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
其中，
L
1
{\displaystyle L_{1}\,\!}
角動量 ，是連心力的一個運動常數 （守恆量 ）。
稱這方程式為「增力方程式」。假設
k
2
>
1
{\displaystyle k^{2}>1\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
<
0
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)<0\,\!}
k
2
<
1
{\displaystyle k^{2}<1\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
>
0
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)>0\,\!}
粒子運動路徑的改變 增添立方反比力會使得粒子的運動路徑也有所改變。由於主要目標是要了解徑向變量和角變量之間的關係，所以不需考慮徑向運動和角運動對於時間的關係。為了達到這目標，不限制角變量必須在
0
{\displaystyle 0\,\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,\!}
2×360° = 720° 。角變量正式定義為角速度的積分：
θ
1
(
t
)
≡
∫
0
t
ω
1
(
t
′
)
d
t
′
{\displaystyle \theta _{1}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{1}(t')\ dt'\,\!}
θ
2
(
t
)
≡
∫
0
t
ω
2
(
t
′
)
d
t
′
{\displaystyle \theta _{2}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{2}(t')\ dt'\,\!}
其中，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
假設第一個粒子的路徑表示為
r
=
g
(
θ
1
)
{\displaystyle r=g(\theta _{1})\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
r
=
g
(
θ
2
/
k
)
{\displaystyle r=g(\theta _{2}/k)\,\!}
1
r
=
A
+
B
cos
θ
1
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}\,\!}
其中，
A
{\displaystyle A\,\!}
B
{\displaystyle B\,\!}
那麼，第二個粒子的路徑應為
1
r
=
A
+
B
cos
(
θ
2
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)\,\!}
軌道進動 按照增力方程式 ，假設
k
{\displaystyle k\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
雖然在圖3裏，進動中的軌道似乎是以角速度常數在均勻地旋轉，這只成立於圓形軌道[2]
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
ω
2
=
ω
1
+
Ω
{\displaystyle \omega _{2}=\omega _{1}+\Omega \,\!}
ω
2
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}=k\omega _{1}\,\!}
Ω
=
(
k
−
1
)
ω
1
{\displaystyle \Omega =(k-1)\omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
角動量守恆定律 ，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
r
2
{\displaystyle r^{2}\,\!}
ω
1
=
L
1
m
r
2
{\displaystyle \omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}}\,\!}
所以只當徑向距離
r
{\displaystyle r\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
簡易範例：科茨螺線 圖6：移動於藍直線的藍粒子的徑向距離
r
{\displaystyle r\,\!}
b
=
r
cos
(
θ
1
−
θ
0
)
{\displaystyle b=r\cos(\theta _{1}-\theta _{0})\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
撞擊參數 ，以紅線段表示）。 舉一個最簡單的範例來解釋牛頓旋轉軌道定理。當沒有任何作用力施加於第一個粒子時，也就是說，當
F
1
(
r
)
=
0
{\displaystyle F_{1}(r)=0\,\!}
1
r
=
1
b
cos
(
θ
1
−
θ
0
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})\,\!}
其中
b
{\displaystyle b\,\!}
撞擊參數 ，以紅線段表示），
(
r
,
θ
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1})\,\!}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}\,\!}
當
Δ
θ
=
θ
1
−
θ
0
=
−
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{0}=-90^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
{\displaystyle \Delta \theta \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
=
0
∘
{\displaystyle \Delta \theta =0^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
撞擊參數 ，定義為從原點到直線路徑的垂直距離。然後，隨著粒子朝著
Δ
θ
{\displaystyle \Delta \theta \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
=
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =90^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
圖7：幾條外螺線分別對應於
k
{\displaystyle k\,\!}
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
設定立方反比力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
=
μ
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\,\!}
其中常數
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
在這範例裏，
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
增力方程式 ，可以得到
μ
=
L
1
2
m
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}(1-k^{2})\,\!}
假設，將這立方反比力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
科茨螺線 [20] [21]
1
r
=
d
e
f
1
b
cos
(
θ
2
−
θ
0
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{b}}\cos \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)\,\!}
其中，
k
{\displaystyle k\,\!}
k
2
=
d
e
f
1
−
m
μ
L
1
2
{\displaystyle k^{2}\ {\stackrel {def}{=}}\ 1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}\,\!}
當
k
2
{\displaystyle k^{2}\,\!}
實數 時，解答是外螺線 [22]
Δ
θ
=
θ
2
−
θ
0
=
±
k
×
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{0}=\pm k\times 90^{\circ }\,\!}
餘弦 趨向於零，徑向距離趨向於無窮遠。因此，當
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
L
1
2
/
m
{\displaystyle L_{1}^{2}/m\,\!}
μ
<
0
{\displaystyle \mu <0\,\!}
0
<
μ
<
L
1
2
/
m
{\displaystyle 0<\mu <L_{1}^{2}/m\,\!}
圖8：潘索螺線（雙曲餘弦 螺線）對應於
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
按照前面
k
{\displaystyle k\,\!}
k
2
{\displaystyle k^{2}\,\!}
負數 ，則
k
{\displaystyle k\,\!}
虛數 ，餘弦函數解答變成雙曲餘弦 解答：
1
r
=
1
b
cosh
(
θ
2
−
θ
0
λ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{\lambda }}\right)\,\!}
其中
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
λ
2
=
d
e
f
m
μ
L
1
2
−
1
=
−
k
2
{\displaystyle \lambda ^{2}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1=-k^{2}\,\!}
這是科茨螺線的另一種曲線，對應於兩種潘索螺線 [22]
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
L
1
2
m
{\displaystyle {\frac {L_{1}^{2}}{m}}\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
取
k
{\displaystyle k\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
倒數螺線 或雙曲螺線 ，以方程式表示：[23]
1
r
=
A
θ
2
+
ε
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon \,\!}
其中
A
{\displaystyle A\,\!}
ε
{\displaystyle \varepsilon \,\!}
當施加的排斥力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
μ
=
L
1
2
m
{\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}\,\!}
閉合軌道和立方反比連心力 圖9：
k
{\displaystyle k\,\!}
在各種各樣的連心力之中，有兩種連心力的性質比較特別：一種連心力與距離呈線性關係，
F
=
C
r
{\displaystyle F=Cr\,\!}
虎克定律 ；另一種連心力與距離平方呈反比關係，
F
=
C
/
r
2
{\displaystyle F=C/r^{2}\,\!}
牛頓萬有引力定律 和庫侖定律 。一個移動中的粒子，假設感受到這兩種之中任何一種作用力，而且缺乏足夠能量 移動到無窮遠，則當回到初始位置時，其速度永遠是初始速度。換句話說，一個束縛粒子的路徑必定是閉合路徑，其運動會不停地重複，不論其初始位置或初始速度。伯特蘭定理 表明，對於其它種類的連心力，這性質不成立；通常而言，當一個粒子回到初始位置時，其速度不等於初始速度。
但是牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子
k
{\displaystyle k\,\!}
有理數 ，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據增力方程式，增添的立方反比力
Δ
F
(
r
)
=
μ
r
3
{\displaystyle \Delta F(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\,\!}
Δ
F
(
r
)
=
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle \Delta F(r)=F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
所以，
k
2
=
1
−
m
μ
L
1
2
{\displaystyle k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}\,\!}
由於
k
{\displaystyle k\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
分數
m
/
n
{\displaystyle m/n\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
整數 。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
圖10：
k
{\displaystyle k\,\!}
諧和軌道與次諧和軌道都是閉合軌道。假若
k
{\displaystyle k\,\!}
k
=
m
/
n
{\displaystyle k=m/n\,\!}
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
k
=
3
{\displaystyle k=3\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
倒數 ，則稱閉合軌跡為「次諧和軌道」；也就是說，假若方程式
k
=
m
/
n
{\displaystyle k=m/n\,\!}
m
=
1
{\displaystyle m=1\,\!}
k
=
1
/
3
{\displaystyle k=1/3\,\!}
[2] [3]
近圓形軌道極限 在《自然哲學的數學原理》，第一冊命題45裏，牛頓應用他的旋轉軌道定理發展出一套新方法，能夠尋找出主掌行星運動的作用力定律。[24] 長軸 可以從天文測量數據中準確地計算出來。長軸定義為連接近拱點 （離力中心點最近距離點）和遠拱點 （離力中心點最遠距離點）的直線段。例如，水星 軌道的長軸定義為連接其近日點 和遠日點 的直線。經過一段時間，由於其它星體的重力微擾、吸引體的扁球形狀 （oblateness in the attracting body ）、廣義相對論效應 和其它效應，大多數行星軌道的長軸會緩慢地旋轉。這現象稱為拱點進動 [25]
牛頓旋轉軌道定理只描述增添立方反比連心力會造成的效應。但是靠著限制公轉軌道為近圓形軌道，像低軌道離心率 的橢圓軌道（
ϵ
≤
10
%
{\displaystyle \epsilon \ \leq 10\%\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
指數 。[25]
從橢圓軌道的力中心點指向近拱點的向量稱為「近拱向量」，指向遠拱點的向量稱為「遠拱向量」；「拱角」
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
冪定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
在太陽系 裏的八個行星軌道中，有七個是低軌道離心率的橢圓軌道。牛頓又將他的定理應用於水星，軌道離心率大約為21%[26] 哈雷彗星 ，軌道離心率大約為97%[25]
定量公式 為了簡化方程式，牛頓以新函數
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
=
C
(
r
)
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\,\!}
其中，
R
{\displaystyle R\,\!}
半正焦弦 。
牛頓將
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
泰勒展開 ）[27]
Δ
F
(
r
)
{\displaystyle \Delta F(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
[24]
1
k
2
=
(
R
C
)
d
C
d
r
|
r
=
R
{\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}\,\!}
換句話說，這任意連心力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
Δ
F
(
r
)
{\displaystyle \Delta F(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}\,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}\,\!}
k
×
180
∘
{\displaystyle k\times 180^{\circ }\,\!}
範例 牛頓舉出三個例子來說明他的公式。在前兩個例子裏，連心力遵守冪定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
n
{\displaystyle r^{n}\,\!}
k
=
1
/
n
{\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
回想前面所述，軌道的旋轉速度為
Ω
=
(
k
−
1
)
ω
1
{\displaystyle \Omega =(k-1)\omega _{1}\,\!}
T
{\displaystyle T\,\!}
Ω
T
=
(
k
−
1
)
ω
1
T
=
(
k
−
1
)
180
∘
{\displaystyle \Omega T=(k-1)\omega _{1}T=(k-1)180^{\circ }\,\!}
對於像牛頓萬有引力定律 一類的平方反比定律 ，
k
=
1
{\displaystyle k=1\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\,\!}
對於像虎克定律 一類的線性連心力關係，
k
=
0.5
{\displaystyle k=0.5\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\,\!}
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }\,\!}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\,\!}
用來衡量作用力定律的距離冪，拱角是一個的優良的指示量。牛頓就是用這指示量來偵測連心力的種類。在《自然哲學的數學原理》，第三冊裏，牛頓因此推斷太陽施加於行星的作用力是平方反比力；他又推斷地球施加於月球的作用力也是平方反比力，天文觀測到的進動誤差是由太陽重力造成的。可是，牛頓無法給出一個準確的重力模型來描述月亮軌道的拱點進動。
在第三個例子裏，牛頓計算兩個冪定律的疊和：
C
(
r
)
∝
a
r
m
+
b
r
n
{\displaystyle C(r)\propto ar^{m}+br^{n}\,\!}
其中，
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
對於這案例，角速度增加的倍數為
k
=
a
+
b
a
m
+
b
n
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\,\!}
所以，拱角
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
α
=
a
+
b
a
m
+
b
n
×
180
∘
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\times 180^{\circ }\,\!}
這兩個公式（冪定律和冪疊加定律）為牛頓研究月球拱點進動的重要工具。
月球軌道的進動 月球的運動比其它行星更為複雜，主要是因為地球和太陽的重力互相競爭。 使用精密的儀器，經過細心地勘測，可以準確地獲得月球運動的數據。分析這些數據，天文學家發覺，月球的運動比其它行星的運動更為複雜[28] 喜帕恰斯 和托勒密 注意到月球軌道有許多週期 性的變化[28] 軌道離心率 的小振動、軌道面與黃道面 之間的軌道傾角 的小規模振動。這些振動通常發生頻率為每月一次或每月兩次。拱點線 緩慢地進動，週期大約為8.85年，而交點線 （軌道面與黄道面的交集 ）旋轉一週期需要大約雙倍時間18.6年[29] 蝕 大約為18年的週期，稱為沙羅週期 。但是，這兩條線的運動都會經歷到月時間尺寸的小規模變動。
1673年，傑雷米亞·霍羅克斯 發表了一個相當準確的月亮運動模型，月亮被認為是依循著一條進動中的橢圓軌道公轉[30] [31] 經度 的航海問題應該可以迎刃而解[32] 角分 ，即地球經度的
1
∘
{\displaystyle 1^{\circ }\,\!}
[33] [33]
月亮繞著地球公轉的拱角觀測值大約為
181
∘
31
′
30
″
{\displaystyle 181^{\circ }31'30''\,\!}
[34] 平方反比定律 為重力定律的形式，替而代之，採用指數 是
2.0165
{\displaystyle 2.0165\,\!}
冪定律 為重力定律的形式，就可以給出一個合理的拱點進動解釋[1]
F
(
r
)
=
−
G
M
m
r
2.0165
{\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2.0165}}}\,\!}
1894年，阿薩夫·霍爾 將這方程式加以改良，使這方程式更為精確。從計算得到的結果，他能夠解釋水星軌道的異常進動[35] 奧本·勒維耶 於1859年觀測到的現象[36] 歐尼斯特·布朗 （Ernest Brown ）於1903年發展出的月球運動說 （lunar theory ），只根據平方反比形式的牛頓萬有引力定律 ，就能夠準確地預測月亮的位置，因此徹底地推翻了霍爾的理論[37] 現代科學認可的解釋 涉及了廣義相對論 ，取至第一近似，這理論增添了一個四次方反比連心力，即與徑向距離的四次方成反比的連心力[38]
第二，牛頓建議，太陽對於月亮運動的微擾影響，或許可以近似為額外的線性作用力：
F
(
r
)
=
A
r
2
+
B
r
{\displaystyle F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br\,\!}
其中，
r
{\displaystyle r\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
B
{\displaystyle B\,\!}
這方程式右手邊的第一個項目對應於月亮與地球之間互相吸引的重力，第二個項目代表太陽的重力施加於地球-月亮系統的平均微擾力。假設地球被一團均勻密度的圓球狀灰塵雲包圍，也會出現這樣的作用力[39]
k
{\displaystyle k\,\!}
180
∘
45
′
44
″
{\displaystyle 180^{\circ }45'44''\,\!}
1.5
∘
{\displaystyle 1.5^{\circ }\,\!}
[34]
推廣 於1687年，牛頓發表了他的定理，即《自然哲學的數學原理》，第一冊命題43至命題45。但是，如同天文物理學家學家錢德拉塞卡 在他的1995年關於這本巨著的評論中指出，已經過了三個世紀，這理論仍舊鮮為人知，有待發展[1]
於2000年，瑪侯嵋與娃達共同發表了牛頓旋轉軌道定理的第一個推廣[4]
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
r
2
=
r
1
{\displaystyle r_{2}=r_{1}\,\!}
1
r
2
(
t
)
=
a
r
1
(
t
)
+
b
{\displaystyle {\frac {1}{r_{2}(t)}}={\frac {a}{r_{1}(t)}}+b\,\!}
其中，
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
這變換改變了粒子的路徑。假設第一個粒子的路徑寫為
r
1
=
g
(
θ
1
)
{\displaystyle r_{1}=g(\theta _{1})\,\!}
a
r
2
1
−
b
r
2
=
g
(
θ
2
k
)
{\displaystyle {\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}=g\left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)\,\!}
假設第一個粒子感受到的作用力為
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
2
)
=
a
3
(
1
−
b
r
2
)
2
F
1
(
a
r
2
1
−
b
r
2
)
+
L
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
−
b
L
2
m
r
2
{\displaystyle F_{2}(r_{2})={\frac {a^{3}}{\left(1-br_{2}\right)^{2}}}F_{1}\left({\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}\right)+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)-{\frac {bL^{2}}{mr^{2}}}\,\!}
按照這方程式，將第一個作用力
F
1
{\displaystyle F_{1}\,\!}
F
2
{\displaystyle F_{2}\,\!}
稍微比較一下，設定
a
=
1
{\displaystyle a=1\,\!}
b
=
0
{\displaystyle b=0\,\!}
r
1
=
r
2
{\displaystyle r_{1}=r_{2}\,\!}
r
2
=
g
(
θ
2
/
k
)
{\displaystyle r_{2}=g(\theta _{2}/k)\,\!}
導引 牛頓的導引 在牛頓的巨著《自然哲學的數學原理 》第一冊的命題43至命題45裏，可以找到他的導引[40] 幾何學 。
命題43；問題30 示圖說明牛頓的導引。藍行星的橢圓軌道以虛線表示，綠行星的橢圓軌道以實線表示。兩個橢圓軌道共同享有焦點C（力中心點）。
∠
U
C
P
{\displaystyle \angle UCP\,\!}
∠
V
C
Q
{\displaystyle \angle VCQ\,\!}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
∠
U
C
Q
{\displaystyle \angle UCQ\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
∠
U
C
V
{\displaystyle \angle UCV\,\!}
(
k
−
1
)
θ
1
{\displaystyle (k-1)\theta _{1}\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
物體移動於繞著力中心點旋轉的曲線，必定如同物體移動於固定不動的相同曲線 [41] 詳細地解釋這句話，假設一條曲線
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}
牛頓的命題43導引依賴在《自然哲學的數學原理 》裏已先行推導出來的命題2[42] 合力 是否為連心力的測驗：牛頓表明，一個作用力是連心力，若且維若，在相等時間內，粒子的連心線掃過的面積都是相等的。
牛頓的導引如下：
假設一粒子感受到任意連心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle {F}_{1}(r)\,\!}
(
r
(
t
)
,
θ
1
(
t
)
)
{\displaystyle (r(t),\theta _{1}(t))\,\!}
d
t
{\displaystyle dt\,\!}
d
A
1
{\displaystyle dA_{1}\,\!}
d
A
1
=
1
2
r
2
d
θ
1
{\displaystyle dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}\,\!}
由於粒子感受到的作用力為連心力，根據牛頓命題2，在相等時間內，粒子的連心線掃過相等角度，即粒子的連心線掃過的面積速度為常數：
d
A
1
d
t
=
1
2
r
2
d
θ
1
d
t
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle {\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant} \,\!}
在拱點，離力中心點最近或最遠的位置，速度向量與徑向向量相互垂直，單位質量的角動量（表示為
h
1
{\displaystyle h_{1}\,\!}
h
1
=
L
1
m
=
r
v
1
=
r
2
d
θ
1
d
t
=
2
d
A
1
d
t
{\displaystyle h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}\,\!}
第二個粒子的軌道的徑向函數與第一個粒子完全相同，但角函數
θ
2
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
(
t
)
=
k
θ
1
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}
第二個粒子的面積速度
h
2
{\displaystyle h_{2}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
h
2
=
2
d
A
2
d
t
=
r
2
d
θ
2
d
t
=
k
r
2
d
θ
1
d
t
=
2
k
d
A
1
d
t
=
k
h
1
{\displaystyle h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}\,\!}
由於
k
{\displaystyle k\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
命題44 分別感受到兩個不同的作用力，一個物體移動於固定不動的軌道，如同另外一個物體移動於繞著力中心點旋轉的軌道，則這兩個作用力的差值與徑向距離的立方成反比[43] 為了能從原本連心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
幾何 與向心加速度 的定義來計算它們的差值
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
L
1
2
−
L
2
2
m
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
仔細分析一個移動中的粒子所感受到的徑向作用力
F
r
{\displaystyle F_{r}\,\!}
m
r
¨
{\displaystyle m{\ddot {r}}\,\!}
m
v
θ
2
/
r
=
m
r
θ
˙
2
{\displaystyle mv_{\theta }^{2}/r=mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}
F
r
=
m
r
¨
+
m
r
θ
˙
2
{\displaystyle F_{r}=m{\ddot {r}}+mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}
此命題的兩個粒子的徑向距離相同，
r
1
=
r
2
{\displaystyle r_{1}=r_{2}\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
m
r
θ
˙
1
2
−
m
r
θ
˙
2
2
=
L
1
2
−
L
2
2
m
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)=mr{\dot {\theta }}_{1}^{2}-mr{\dot {\theta }}_{2}^{2}={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
命題45；問題31 尋找近圓形軌道的拱點的運動[44] 在這命題裏，從他的旋轉軌道定理，牛頓推導出「牛頓拱點進動定理」：對於近圓形軌道，假若連心力遵守冪定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
牛頓拱點進動定理可以用來研究近圓形軌道。對於行星軌道和月亮迴繞地球的公轉軌道，這近似通常成立。這近似也使得牛頓能夠計算一些不同種類的連心力定律，不僅僅是平方反比定律或立方反比定律。
假設第一個粒子的軌道為橢圓軌道，則這粒子必定感受到平方反比力[45]
F
1
(
r
)
=
μ
/
r
2
=
−
L
1
2
m
R
r
2
{\displaystyle F_{1}(r)=\mu /r^{2}=-{\frac {L_{1}^{2}}{mRr^{2}}}\,\!}
其中，
R
=
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle R=a(1-e^{2})\,\!}
半正焦弦 ，
a
{\displaystyle a\,\!}
半長軸 ，
e
{\displaystyle e\,\!}
離心率 。
將這公式代入命題44的方程式，可以得到
F
2
(
r
)
=
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
r
L
1
2
m
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-rL_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}
對於近圓形軌道，將徑向距離近似為
r
≈
r
m
a
x
−
Δ
r
{\displaystyle r\approx r_{max}-\Delta r\,\!}
其中，
r
m
a
x
=
a
(
1
+
e
)
{\displaystyle r_{max}=a(1+e)\,\!}
遠拱距 ，
Δ
r
{\displaystyle \Delta r\,\!}
牛頓以新函數
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
r
{\displaystyle \Delta r\,\!}
F
2
(
r
)
=
C
(
r
)
R
r
3
≈
C
(
r
m
a
x
)
−
C
′
(
r
m
a
x
)
Δ
r
R
r
3
≈
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
(
r
m
a
x
−
Δ
r
)
L
1
2
m
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\approx {\frac {C(r_{max})-C^{\prime }(r_{max})\Delta r}{Rr^{3}}}\approx {\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-(r_{max}-\Delta r)L_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}
匹配零階項目。這時，可以將
r
m
a
x
{\displaystyle r_{max}\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
C
(
r
m
a
x
)
=
[
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
r
m
a
x
L
1
2
]
/
m
≈
−
R
L
2
2
/
m
{\displaystyle C(r_{max})=[R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-r_{max}L_{1}^{2}]/m\approx -RL_{2}^{2}/m\,\!}
再匹配一階項目：
C
′
(
r
m
a
x
)
=
−
L
1
2
/
m
{\displaystyle C^{\prime }(r_{max})=-L_{1}^{2}/m\,\!}
綜合這兩個方程式，可以得到近圓形軌道角速度的標度因子
k
{\displaystyle k\,\!}
[24]
(
R
C
)
d
C
d
r
|
r
=
R
=
L
1
2
L
2
2
=
1
k
2
{\displaystyle \left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}={\frac {L_{1}^{2}}{L_{2}^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}\,\!}
以方程式表達連心力為
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
3
−
n
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}
C
(
r
)
=
μ
r
n
{\displaystyle C(r)=\mu r^{n}\,\!}
k
=
1
/
n
{\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}
換句話說，假設第一個粒子感受到平方反比力
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
2
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{2}\,\!}
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
3
−
n
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
α
1
=
180
∘
{\displaystyle \alpha _{1}=180^{\circ }\,\!}
α
2
=
k
×
180
∘
{\displaystyle \alpha _{2}=k\times 180^{\circ }\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
現代導引 愛德蒙·惠特克 （E. T. Whittaker ）[46] 錢德拉塞卡 [41]
增力方程式 假設，第二個粒子的角速度
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
ω
2
=
d
θ
2
d
t
=
k
d
θ
1
d
t
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}\,\!}
由於兩個粒子的徑向行為
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
L
1
{\displaystyle L_{1}\,\!}
L
2
{\displaystyle L_{2}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
L
2
=
m
r
2
ω
2
=
m
r
2
k
ω
1
=
k
L
1
{\displaystyle L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!}
一个運動於連心勢
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)\,\!}
拉格朗日量 等於其動能减去連心勢：
L
(
r
,
θ
)
=
m
2
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
−
V
(
r
)
=
m
2
(
r
˙
2
+
r
2
θ
˙
2
)
−
V
(
r
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\theta )={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)-V(r)={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r)\,\!}
其中，
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\,\!}
直角坐標 。
其拉格朗日方程式 為
m
r
¨
−
m
r
θ
˙
2
−
F
(
r
)
=
0
{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-F(r)=0\,\!}
d
d
t
(
m
r
2
θ
˙
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{{d}t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0\,\!}
其中，
F
(
r
)
=
−
∂
V
(
r
)
∂
r
{\displaystyle F(r)=-\ {\frac {\partial V(r)}{\partial r}}\,\!}
移動於連心勢
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)\,\!}
拉格朗日方程式 給出：
m
d
2
r
d
t
2
−
m
r
ω
2
=
m
d
2
r
d
t
2
−
L
2
m
r
3
=
F
(
r
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}
分別應用徑向運動方程式於這兩個粒子，
m
d
2
r
d
t
2
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
=
F
2
(
r
)
+
L
2
2
m
r
3
=
F
2
(
r
)
+
k
2
L
1
2
m
r
3
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
其中，
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
稍加編排，可以得到增力方程式：
F
2
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
這兩個連心力之間的關係式的內涵，可以解釋為，角速度（或等價地，角動量）的不同造成了向心力 需求的不同；為了滿足這需求，徑向力必須增添一個立方反比力。
牛頓旋轉軌道定理可以等價地以勢能 來表達，徑向力方程式以勢能寫為
−
d
V
2
d
r
=
−
d
V
1
d
r
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle -\ {\frac {dV_{2}}{dr}}=-\ {\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
對於徑向距離
r
{\displaystyle r\,\!}
積分 ，牛頓旋轉軌道定理表明，增添一個平方反比連心勢於任意給定的勢能
V
1
(
r
)
{\displaystyle V_{1}(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
V
2
(
r
)
=
V
1
(
r
)
+
L
1
2
2
m
r
2
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
拱角方程式 粒子的徑向方程式為
m
d
2
r
d
t
2
−
L
2
m
r
3
=
F
(
r
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}
注意到
L
=
m
r
2
θ
˙
{\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}\,\!}
d
d
t
=
L
m
r
2
d
d
θ
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}\ {\frac {d}{d\theta }}\,\!}
設定徑向距離的倒數
u
=
1
/
r
{\displaystyle u=1/r\,\!}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
F
(
1
/
u
)
L
2
u
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {mF(1/u)}{L^{2}u^{2}}}\,\!}
以方程式表達連心力為
F
=
μ
u
3
−
n
{\displaystyle F=\mu u^{3-n}\,\!}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
μ
L
2
u
1
−
n
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {m\mu }{L^{2}}}u^{1-n}\,\!}
將近圓形軌道近似為橢圓軌道，
u
=
[
1
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
/
R
{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
半正焦弦 ，
ϵ
{\displaystyle \epsilon \,\!}
ϵ
<<
1
{\displaystyle \epsilon <<1\,\!}
ϵ
{\displaystyle \epsilon \,\!}
−
ϵ
k
2
R
cos
(
θ
/
k
)
+
1
R
+
ϵ
R
cos
(
θ
/
k
)
≈
m
μ
L
2
R
1
−
n
[
1
+
(
1
−
n
)
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}R}}\ \cos(\theta /k)+{\frac {1}{R}}+{\frac {\epsilon }{R}}\ \cos(\theta /k)\approx {\frac {m\mu }{L^{2}R^{1-n}}}\left[1+(1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\right]\,\!}
注意到零次方項目，
1
−
m
μ
R
n
L
2
=
0
{\displaystyle 1-{\frac {m\mu R^{n}}{L^{2}}}=0\,\!}
L
2
=
m
μ
R
n
{\displaystyle L^{2}=m\mu R^{n}\,\!}
−
ϵ
k
2
cos
(
θ
/
k
)
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
≈
(
1
−
n
)
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}}}\ \cos(\theta /k)+\epsilon \,\cos(\theta /k)\approx (1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\,\!}
為了要滿足這方程式，必須設定
k
2
=
1
/
n
{\displaystyle k^{2}=1/n\,\!}
u
=
[
1
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
/
R
{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}
拱點是徑向距離
r
{\displaystyle r\,\!}
u
{\displaystyle u\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
θ
/
k
=
N
π
{\displaystyle \theta /k=N\pi \,\!}
N
{\displaystyle N\,\!}
θ
=
k
π
=
k
×
180
∘
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \theta =k\pi =k\times 180^{\circ }=180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
稱這為拱角方程式。進一步計算，可以得到更精確的結果[47]
k
=
[
1
+
(
1
−
n
)
(
4
−
n
)
24
ϵ
2
]
/
n
{\displaystyle k=\left[1+{\frac {(1-n)(4-n)}{24}}\epsilon ^{2}\right]/{\sqrt {n}}\,\!}
參閱 參考文獻
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![{\displaystyle C(r_{max})=[R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-r_{max}L_{1}^{2}]/m\approx -RL_{2}^{2}/m\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ad33862f78cd53430af3c50d4eb86ac7e6b6a6)
![{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e10b84097e54f1ce6d0b7f0075d969e2007e0)
![{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}R}}\ \cos(\theta /k)+{\frac {1}{R}}+{\frac {\epsilon }{R}}\ \cos(\theta /k)\approx {\frac {m\mu }{L^{2}R^{1-n}}}\left[1+(1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54869b4efccbe27b10b6e9e5da19e1985cbf380d)
![{\displaystyle k=\left[1+{\frac {(1-n)(4-n)}{24}}\epsilon ^{2}\right]/{\sqrt {n}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f44c39d2f56318cfbc5b4fe8b5f5b29f65c317)
