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运动常数

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经典力学里,对于一个动力系统,随着时间的演进,所有保持不变的物理量都称为运动常数constant of motion),又称为守恒量[1]它的作用有点类似运动的约束。可是,运动常数是数学的约束,自然地从运动方程中显现出来,而不是物理的约束;物理的约束会有相应的约束力来维持这约束。常见的运动常数例子有能量动量角动量拉普拉斯-龙格-楞次矢量

应用[编辑]

运动常数的辨认对于研究物理问题是非常重要的。通过解析运动常数,可以明了许多物体运动的性质,而不需将运动方程的解答完全计算出来。假若一个物体的角动量矢量是恒定的,则此物体的轨迹Trajectory)必包含于一个平面。在有些幸运的状况下,甚至连运动轨迹都可以简单地导引出来;因为它们是运动常数的等值曲面相交线。举例而言,从潘索椭圆球Poinsot's ellipsoid)可以观察出,一个净力矩等于零的刚体旋转,其角速度轨迹是一个圆球(角动量守恒)与一个椭圆球(能量守恒)的相交。用别种方法,这答案或许很不容易导引出。因此,运动常数的辨认是很重要的研究目标。

辨认运动常数的方法[编辑]

辨认运动常数的方法有好几种:

  • 最简单,但最无系统的方法是靠直觉。假设一个物理量是运动常数(或许是从分析实验数据而得到的结论)。经过数学证明,可以论定,在物体的运动过程中,此量的值是保守的。

另外一个很有用的理论,泊松定理阐明:假若都是运动常数,则它们的泊松括号也是运动常数。

一个物理系统,假若拥有自由度个运动常数,其任何一对运动常数的泊松括号等于零,则称此系统为完全可积分系统completely integrable system)。称这一集合的运动常数互相对合

量子力学[编辑]

假若,一个可观测量哈密顿量可交换的,而且不显性地含时间,则此可观测量是个运动常数。

导引[编辑]

假设,一个可观测量跟位置、动量、时间有关。再假设一个波函数遵守薛定谔方程。求期望值对于时间的导数,

其中,交换子

假若,哈密顿量可交换的,而且不显性地含时间,则

所以,是运动常数。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.