阿贝尔求和公式

维基百科,自由的百科全书

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现,广泛应用于数论之中,以便用来计算级数

恒等式

为一实数複數是一個連續可導函数,则

其中是部分和

而且这正是對黎曼-斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情況,有

欧拉-马斯刻若尼常数

,則,恆等式變為

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

,則,故

公式在時成立,并且可以用来推导狄利克雷定理,其斷言,若以表示黎曼ζ函数,則s = 1處有留数为1的简单極點

黎曼ζ函数的倒数

默比乌斯函数,且,則,故梅滕斯函数,而恆等式變成

上式在時成立。

参见

参考文献