RL電路,全稱電阻-電感電路(英語:Resistor-inductor circuit),或稱RL濾波器、RL網絡,是最簡單的無限脈衝響應電子濾波器。它由一個電阻器、一個電感元件串聯或並聯組成,並由電壓源驅動。[1]
概論
最基本的被動線性元件為電阻器(R)、電容器(C)和電感元件(L)。這些元件可以被用來組成4種不同的電路:RC電路、RL電路、LC電路和RLC電路,這些名稱都緣於各自所使用元件的英語縮寫。它們體現了一些對於模擬電子技術來說很重要的性質。它們都可以被用作被動濾波器。本條目主要講述RL電路串聯、並聯狀態的情況。
在實際應用中通常使用電容器(以及RC電路)而非電感來構成濾波電路。這是因為電容更容易製造,且元件的尺寸普遍更小。
復阻抗
具有電感L(以亨利為單位)的電感元件的復阻抗ZL(以歐姆為單位)為[2]:
![{\displaystyle Z_{L}\ =\ Ls}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0de68f1c72cd9bbad9a61f3a4a297b07de818b1)
復頻率s是一個複數,
![{\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0328a17962061ac2483463bf50d2ddee377e890d)
這裡
![{\displaystyle j^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92313d249fbdd831b4bd88b5786e0e15589aaef5)
為指數衰減常數(以每秒弧度為單位),且
為角頻率(以每秒弧度為單位)
示性函數
複數函數示性函數(Eigenfunctions)對所有線性時不變系統(linear time-invariant, LTI)有以下的形式:
,若令
,則可重寫為
,合併複數指數後得到![{\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b84e0bcb9ac727e1c3c5da6aefc41e51841ad3)
通過複數的歐拉公式,示性函數的實部為指數衰減的正弦值:
![{\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa5a0b6bd742eabfd5f955793c8b44f5d5e2752)
正弦穩定狀態
正弦穩定狀態是當輸入電壓僅包含純的正弦信號的特殊情況,即不存在指數衰減。因此[3]:
![{\displaystyle \sigma \ =\ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c62babfd3407ba8d1a3dfd2d3cc40b0f58f1d6f)
且s的值變為:
![{\displaystyle s\ =\ j\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d02487a053fe790c3308882ef95974f9455459e)
串聯
RL電路的串聯形式
如果把整個RL電路看做一個按阻抗進行分壓[2]的系統,則電感元件「分得」的電壓為:
![{\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a805095dc55e1673e81424f338bbdd6fe0a5a59)
電阻器「分得」的電壓為:
.
電流
由於是串聯電路,因此電路處處電流相等,且為:
.
傳遞函數
電感元件的傳遞函數為:
![{\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f0e537d9a31ae2d278c214170e71116ec671de)
類似的,電阻器的傳遞函數為:
![{\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52de138947ae027e429ad1d23a514866ce739c5)
極點和零點
兩個傳輸函數都有一個極點位於:
![{\displaystyle s=-{R \over L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1feb2a0e1e3c30dcd740f390935acbc7ec5ff6c1)
另外,電感元件在原點處有一個零點。
增益和相位
通過代入上面的表達式,可以求得兩個組件的增益為:
![{\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e3f16836fca0f2d761e9e6ed72cece233565da)
且
,
相位為:
![{\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208b14a2a3d60b4130440b3a5cab71a8c6d6fafe)
且
.
相量表示
通常用相量代替上面的式子來表達輸出[2]:
![{\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac49aadf26d387e064532780f6e8cc54f62bf98f)
.
脈衝響應
每一種電壓的衝激響應是對應傳輸函數的反拉普拉斯變換。它代表電路對於包含脈衝或狄拉克δ函數的輸入電壓的響應。
電感元件電壓的響應為:
![{\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b321fba64ca201abae03134ce9570f8063c86e84)
這裡u(t)是單位階躍函數且
為時間常數。
類似的,電阻器電壓的響應為:
![{\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44aa619cb6c5b7543b21636fc922ab714f7811e)
零輸入響應
RL電路的零輸入響應(Zero input response, ZIR)描述了電路在不連接輸入信號源的情況下、達到穩定電壓和電流時的工作狀態。[4]因為它沒有外接輸入信號,因此得名。
一個RL電路的零輸入響應為:
.
其中
是時間常數。
並聯
RL電路的並聯形式
除非連接到電流源,RL電路的並聯形式很少引起人們的興趣。這主要是因為輸出電壓
等於輸入電壓
,這樣,整個電路並未能充當一個電壓信號的濾波器。
復阻抗為:
![{\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666d0dc3f4d2551c9c94f60fd4ab084f2df1bbcb)
且
.
這表明電感元件在相位上落後電阻器(以及輸入信號)90度。
RL電路的並聯形式經常在放大器電路的輸出級上,使放大器與負載隔離。由於電容器引入的相移,有些放大器在高頻的情況會變得不穩定,容易產生振盪。這會影響電器功能(例如音響的音效品質)和其使用壽命(特別是對晶體管來說),所以應當儘量避免。
參考文獻
相關條目