一致連續 又稱均勻連續 ,(英語:uniformly continuous ),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數 f 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近,我們就可以讓 f (x ) 跟 f (y ) 無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於:f (x ) 跟 f (y ) 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇。
一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间 上一致连续,则其在此度量空间 上必然连续,但反之未必成立。
正式的 ε-δ 定義
设
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X,d_{1})}
和
(
Y
,
d
2
)
{\displaystyle (Y,d_{2})}
皆是度量空间 ,我們說函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
一致连续 ,這代表對任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
,使得定義域中任意兩點
x
,
y
{\displaystyle x,y}
只要
d
1
(
x
,
y
)
<
δ
{\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }
,就有
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon }
。
当
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
都是實數 的子集合,
d
1
{\displaystyle d_{1}}
和
d
2
{\displaystyle d_{2}}
為絕對值
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
,使得对任意兩點
|
x
−
y
|
<
δ
{\displaystyle |x-y|<\delta }
,都有
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }
,则稱函數
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上一致连续。
均勻連續跟在每點連續最大的不同在於:在均勻連續定義中,正數
δ
{\displaystyle \delta }
的選擇只依賴
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
這變數,而不依賴定義域上點的位置。
一致连续性定理
证明 :
设函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
,
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X,d_{1})}
为紧致度量空间,
(
Y
,
d
2
)
{\displaystyle (Y,d_{2})}
为度量空间。
假设
f
{\displaystyle f}
不是一致连续的,則存在一個
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,对于任意
n
{\displaystyle n}
都存在
x
n
,
y
n
{\displaystyle x_{n},y_{n}}
满足条件
d
1
(
x
n
,
y
n
)
<
1
n
{\displaystyle d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}}
并且
d
2
(
f
(
x
n
)
,
f
(
y
n
)
)
≥
ϵ
{\displaystyle d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon }
。
因为
X
{\displaystyle X}
为紧致度量空间,
X
{\displaystyle X}
是序列紧致的,所以存在一个
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的收敛子序列
(
x
k
n
)
{\displaystyle (x_{k_{n}})}
,设其收敛到
x
{\displaystyle x}
。
d
1
(
x
k
n
,
y
k
n
)
<
1
k
n
≤
1
n
→
0
{\displaystyle d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0}
,所以
(
y
k
n
)
→
x
{\displaystyle (y_{k_{n}})\to x}
。
因为
f
{\displaystyle f}
连续,
ϵ
≤
d
2
(
f
(
x
k
n
)
,
f
(
y
k
n
)
)
→
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0}
,矛盾,定理得证。
一致连续相比于连续 是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。
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