交集

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数学上,两个集合交集是含有所有既属于又属于的元素,而没有其他元素的集合。

有限交集

A和的交集

交集是由公理化集合论分類公理來確保其唯一存在的特定集合

也就是直觀上:

的交集写作「」,「對所有 等價於

例如:集合的交集为。数字不属于素数集合和奇数集合的交集。

若两个集合的交集为,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作:。例如集合不相交,写作

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合交集。交集运算满足结合律。即:

任意交集

以上定義可根據无限并集补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 ,則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合:

也就是直觀上蒐集所有 的集合, 這樣的話有:

根據一阶逻辑的定理(Ce),也就是:

但根據一阶逻辑的等式相關定理,下式:

顯然是個定理(也就是直觀上為真),故:

換句話說:

那可以做如下的符號定義:

稱為 任意交集无限交集。也就是直觀上「對所有 等價於對任何 的下屬集合 ,都有

例如:

類似於无限并集,无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

但大多數人會假設指标集 的存在,換句話說

指标集 自然数系 的情况下,更可以仿无穷级数來表示,也就是說:

也可以更粗略直觀的將 写作

参见