四角化菱形三十面体

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四角化菱形三十面体
四角化菱形三十面体
(按这里观看旋转模型)
类别卡塔兰立体
一百二十面体
对偶多面体小斜方截半二十面体
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法mD 或 dbD
性质
120
180
顶点62
欧拉特征数F=120, E=180, V=62 (χ=2)
二面角164° 53′ 17′′
arccos(-179-245/241)
组成与布局
面的种类DU28 facets.png
不等边三角形
面的布局
英语Face configuration
V4.6.10
顶点的种类20个6阶顶点
30个4阶顶点
12个10阶顶点
对称性
对称群Ih, H3, [5,3], (*532)
旋转对称群
英语Rotation_groups
I, [5,3]+, (532)
图像
立体图
Truncatedicosidodecahedron.jpg
小斜方截半二十面体
(对偶多面体)
Disdyakis 30 net.svg
(展开图)

几何学中,四角化菱形三十面体又称为角锥化菱形三十面体(kisrhombic triacontahedron[1]:284)或六角化二十面体(hexakis icosahedron[2]:55)是具有120个面的卡塔兰立体,并且是阿基米德立体大斜方截半二十面体对偶多面体[3][4]。这种立体是一个等面图形,也就是说它每个全等,但组成面不是正多边形,严格来说是不等边三角形。其外观有点像膨胀的菱形三十面体:若将菱形三十面体的每个菱形面替换成1个顶点和4个三角形面则会形成四角化菱形三十面体,也可以视为在菱形三十面体的每个面上叠上菱形四角锥来构成,也就是说,四角化菱形三十面体是菱形三十面体的克利多面体。四角化菱形三十面体是阿基米德立体卡塔兰立体中面数最多的立体,面数最多的阿基米德立体扭棱十二面体有92个面。

如果排除双锥体双锥反柱体偏方面体,则在任何其他严格凸多面体中,四角化菱形三十面体是每个面都具有相同的形状的立体中,面数最多的多面体。

若将四角化菱形三十面体投影到球面上,则四角化菱形三十面体定义了15个大圆。巴克敏斯特·富勒使用这15个大圆,以及另外两个多面体中的10个大圆和6个大圆来定义球面二十面体的31个大圆英语31 great circles of the spherical icosahedron

性质

四角化菱形三十面体共有12018062顶点[5]。在其120个面中,每个面都是全等的不等边三角形。在其62个顶点中,有20个顶点是6个三角形的公共顶点、30个顶点是4个三角形的公共顶点和12个顶点是10个三角形的公共顶点[6]

面的组成

组成四角化菱形三十面体的面为不等边三角形。其三个内角分别为[7],其中黄金比例

DU28 facets.png

其中有一个角非常接近直角,但不是直角,因此这个三角形不是直角三角形。其三个边的边长比(由短到长)为:[6]

1.3942870166557737040 : 2.19017447980650378252 : 2.5755459331956214849

也就是说,若最短边长为单位长,则另外两边长分别为1.57082039324994[8][6]1.84721359549996[9][6]。这三种边长的边在整个立体中各有60条。[6]

二面角

四角化菱形三十面体只有一种二面角,约为164.888度:[6]

2.87783661046122428164.887891908°

顶点座标

四角化菱形三十面体的62个顶点分别落在以下3个集合内:[6]

  • 其中12个顶点的形式为的循环排列,其中为黄金比例。这些顶点之间形成一个正二十面体
  • 其中20个顶点的形式为的循环排列,其中为黄金比例。这些顶点之间形成一个正十二面体
  • 剩下的30个顶点为上述32个顶点所构成的菱形三十面体之面心经一个倍率1.065091570621743缩放后的顶点,其中为黄金比例。上述32个顶点之间会构成一个菱形三十面体,这个菱形三十面体的30个面的面心为的循环排列,经由倍率缩放后变为的循环排列,共30个顶点,这30个顶点为四角化菱形三十面体的最后30个顶点。

用途

由于四角化菱形三十面体是等面的120面体,因此可以以此形状制作120面的骰子。[10]通常使用3D打印来制作这种形状的骰子[11]。自2016年以来,Dice Lab已使用四角化菱形三十面体的模具注塑成型来大规模销售120面的骰子。[12]据称120面骰是公正骰子最大的可能面数,虽然可以用无限集合的等面立体(如双锥体双锥反柱体偏方面体)来制作更多面数的骰子,但由于这种形状(更多面的双锥体双锥反柱体偏方面体)会导致制成的骰子长时间滚动,因此在现实中并不实用。[13]

作为正十二面体的四角化菱形三十面体,即把正十二面体的每个五边形面分割成10个三角形的这种形状可以设计成一种魔术方块,通常称为Big Chop。然而如何至制作出这种形状的魔术方块目前仍是未解决的问题,目前还没有令人满意的设计结构。[14]

Brilliant英语Brilliant (website)的标志是投影到球面上的四角化菱形三十面体,Brilliant是一个包含理工科相关主题的系列课程的网站。[15]此外由于其等面的特性,加上面数非常多,因此曾被用来建构全球离散格网英语Discrete global grid[16]

参见

参考文献

  1. ^ Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446. 
  2. ^ Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press. 1971. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Disdyakis Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Robert Webb. Disdyakistriacontahedron. software3d.com. 
  5. ^ V. Bulatov. disdyakistriacontahedron. bulatov.org. 2009 [2022-07-24]. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Disdyakis Triacontahedron. 
  7. ^ Disdyakis triacontahedron. fillygons.ch. 
  8. ^ Wolfram, Stephen. "(3*sqrt(15*(65+19*sqrt(5)))/55)/(sqrt(15*(85−31*sqrt(5)))/11)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  9. ^ Wolfram, Stephen. "(2*sqrt(15*(5−sqrt(5)))/5)/(sqrt(15*(85−31*sqrt(5)))/11)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  10. ^ The Mind-Boggling Challenge of Designing 120-Sided Dice. wired.com. 
  11. ^ Kevin Cook's Dice Collector website: d120 3D printed from Shapeways artist SirisC. dicecollector.com. 
  12. ^ d120 and d48. The Dice Lab. (原始内容存档于2016-12-08). 
  13. ^ This D120 is the Largest Mathematically Fair Die Possible | Nerdist. (原始内容存档于2016-05-03). 
  14. ^ Big Chop. twistypuzzles.com. 
  15. ^ Brilliant | Learn to think. brilliant.org. [2020-02-01] (美国英语). 
  16. ^ Hall, John and Wecker, Lakin and Ulmer, Benjamin and Samavati, Faramarz. Disdyakis triacontahedron DGGS. ISPRS International Journal of Geo-Information (MDPI). 2020, 9 (5): 315. 

外部链接