扭稜四角反角柱

**扭稜四角反角柱**
類別	詹森多面體 ; J84 - J85 - J86
識別
名稱	扭稜四角反角柱
參考索引	J85
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snisquap
數學表示法
施萊夫利符號	ss{2,8}
性質
面	26
邊	40
頂點	16
歐拉特徵數	F=26, E=40, V=16 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8+16個三角形 ; 2個正方形
頂點圖	8個(35) ; 8個(34.4)
對稱性
對稱群	D4v群
特性
	凸多面體
圖像
	; （展開圖）
	查; 论; 编;

扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J₈₅^[1]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[2]。

性質

扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成^[3]^[4]^[5]。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形^[3]。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁵]來表示^[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁴,4]來表示^[6]。

構造

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱^[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4^[8]。

體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為 $a$ ，則其表面積 $A$ 為：^[9]

A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},

^[10]

而其體積 $V$ 為：

V=\xi a^{3},

其中 $\xi \approx 3.60122$ 是下列多項式的最大實根：

531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.

^[11]

頂點座標

令 $k$ 為下列三次式的正實根，約為 $k\approx 0.82354$ ：

9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.

和h約為 $h\approx 1.35374$ ：

h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：^[12]

(1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)

扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。^[7]

扭稜反角柱
對稱性	D_2d, [2⁺,4], (2*2)	D_3d, [2⁺,6], (2*3)	D_4d, [2⁺,8], (2*4)	D_5d, [2⁺,10], (2*5)
反角柱	s{2,4} A2 （頂點：4、邊：8、面：6）	s{2,6} A3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：6、邊：12、面：8）	s{2,8} A4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：8、邊：16、面：10）	s{2,10} A5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：10、邊：20、面：12）
截角反角柱	ts{2,4} tA2 （頂點：16、邊：24、面：10）	ts{2,6} tA3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：24、邊：36、面：14）	ts{2,8}（英语：truncated square antiprism） tA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：32、邊：48、面：18）	ts{2,10} tA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（頂點：40、邊：60、面：22）
對稱性	D₂, [2,2]⁺, (222)	D₃, [3,2]⁺, (322)	D₄, [4,2]⁺, (422)	D₅, [5,2]⁺, (522)
扭稜反角柱	J84	二十面體	J85	凹
		sY3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA3	sY4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA4	sY5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA5
	ss{2,4} （頂點：8、邊：20、面：14）	ss{2,6} （頂點：12、邊：30、面：20）	ss{2,8} （頂點：16、邊：40、面：26）	ss{2,10} （頂點：20、邊：50、面：32）

參見

參考文獻

^ Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
^ ^3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.
^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
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^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.
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外部連結

[mathworld-3] Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[4] Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8

[dmccooey-5] 3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.

[6] The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.

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[Richard_Klitzing-8] 6.0 ^6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）.

[Snub_Anti-Prisms-9] 7.0 ^7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）.

[10] PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.

[SW-11] Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[12] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]

[13] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]

[14] Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.

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