最短路问题
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最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：
- 确定起点的最短路径问题 - 也叫单源最短路问题，即已知起始结点，求最短路径的问题。在边权非负时适合使用Dijkstra算法，若边权为负时则适合使用Bellman-ford算法或者SPFA算法。
- 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
- 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
- 全局最短路径问题 - 也叫多源最短路问题，求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：
- Dijkstra算法
- A*算法
- Bellman-Ford算法
- SPFA算法（Bellman-Ford算法的改进版本）
- Floyd-Warshall算法
- Johnson最短路算法
- 双向搜索
| 图与树 搜索算法 |
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| 分类 |
| 相关主题 |
单源最短路径算法
无向图
| 权值要求 | 时间复杂度 | 作者 |
|---|---|---|
| ℝ+ | Dijkstra 1959 | |
| ℝ+ | Johnson 1977 (二叉堆) | |
| ℝ+ | Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆) | |
| ℕ | Thorup 1999 (要求常数时间复杂度的乘法)。 |
无权图
| 算法 | 时间复杂度 | 作者 |
|---|---|---|
| 广度优先搜索 | Konrad Zuse 1945,Moore 1959 |
有向无环图
使用拓扑排序算法可以在有权值的DAG中以线性时间（）求解单源最短路径问题。
无负权的有向图
假设边缘权重均为整数。
| 算法 | 时间复杂度 | 作者 |
|---|---|---|
| O(V 2EL) | Ford 1956 | |
| Bellman–Ford 算法 | O(VE) | Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959 |
| O(V 2 log V) | Dantzig 1960 | |
| Dijkstra's 算法（列表） | O(V 2) | Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960 |
| Dijkstra's 算法（二叉堆） | O((E + V) log V) | Johnson 1977 |
| …… | …… | …… |
| Dijkstra's 算法（斐波那契堆） | O(E + V log V) | Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987 |
| O(E log log L) | Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983 | |
| Gabow's 算法 | O(E logE/V L) | Gabow 1983, Gabow 1985 |
| Ahuja et al. 1990 | ||
| Thorup | O(E + V log log V) | Thorup 2004 |
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参见
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