矛盾

在傳統邏輯學中，如果一個命題與自身或既定事實相衝突，則稱之為矛盾（英語：contradiction，又稱恆假）。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里士多德提出的無矛盾律，進一步說明了應用邏輯的普遍原則，即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非^[1]。

在當代的形式邏輯和類型論領域，「矛盾」一詞專指某個特定的命題，通常使用偽符號（英语：Up tack）（ $\bot$ （英语：Bottom type））來表示。根據邏輯規則，如果一個命題能導出「假（英语：False (logic)）」，則該命題被視為矛盾，亦即它是一個永遠不成立的命題（也就是說，自我矛盾的論述）^[2]^[3]。這個概念可以延伸應用到一系列的論述上，這時可以說這一系列論述中「包含有」矛盾。

词源

汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事：

“

楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷之。”以誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷子之盾，何如？”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。

”

白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他讚譽自己賣的盾牌說：“我的盾牌堅固無比，任何物件都無法刺穿它。”又誇讚自己賣的矛說：“我的矛鋒利無比，於任何物件都可以刺穿。”有人問他說：“用你的矛来試著刺你的盾，將會如何？”其人一句話都無法回應。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同时存在。

日本明治时代哲学家井上哲次郎首次翻譯西文中的“contradiction”为“矛盾”。

邏輯學上的矛盾

逻辑学上，矛盾、自相矛盾或牴觸（contradiction）被更加特殊化的定义为同时断言一个命題和它的否定。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律，它声称「你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是」。

當我們說命題S與P矛盾時，意思是二者相當於A和非A的關係，也就是S與P不能同時為真、亦不能同時為假。

舉例來說：「所有學生都用功」和「有些學生不用功」就是在邏輯上矛盾；另一個例子是「死刑已被廢除，嚴格禁止包括謀殺在內的任何罪行使用死刑；但為了受害者著想及平衡各方意見，若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」，在其中「死刑已被廢除」代表的就是「這個國家沒有死刑」，而「若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」則指向「這個國家有死刑」這點，顯然一個國家或地區不可能同時有死刑又沒有死刑，此種法律是自相矛盾。

習慣上說的矛盾其實是指邏輯學上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。

利用矛盾的证明

在演绎逻辑和数学中，矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象，你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用：因为矛盾永远不能为真，所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明，你需要从一组前提构造一个有效的论证，得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假，并且论证是有效的，唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法，比如欧几里得对没有最大素数的证明，和康托尔对在0和1之间有不可数個实数的对角线证明。

涉及矛盾的悖论

矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题（也叫陈述）。换句话说，依据谓词演算，不管P和Q意味着什么，如果P和¬P都为真的，则Q为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。

例如，下列论证是严格有效，就是说前提在逻辑上蕴涵结论：

前提: 5既是偶数又是奇数。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。
结论：神存在。（就是Q）。

下面的论证也是有效的：

前提: 5既是偶数又是奇数。（就是P ∧ ¬P）。
结论：神不存在。（就是¬Q）。

注意这两个论证共有的前提是错误的；5是奇数而不是偶数。所以此等论证都不是可靠，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的，如果5既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。

这个悖论的证明

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义：

(P ∧ ¬P)为假。
所以，(P ∧ ¬P) → Q为空虚真理。

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷：

假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出：
1. P（合取除去）
2. ¬P（合取除去）
3. 假设¬Q。基于这个假定我们可以推导出：
  1. P (前面的结果)
4. 所以¬Q → P（条件证明）
5. ¬P → Q（前面一行的逆反命题）
6. Q（肯定前件）
所以 (P ∧ ¬P) → Q（条件证明）

參考文獻

^ Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (编), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10]
^ Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14].
^ Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14].

参见

[1] Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (编), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10]

[2] Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14].

[3] Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14].

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