积分因子

积分因子是一种用来解微分方程的方法。

方法

考虑以下形式的微分方程：

$y'+a(x)y=b(x)......(1)$

其中$y=y(x)$是$x$的未知函数，$a(x)$和$b(x)$是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数$M(x)$。我们把(1)的两边乘以$M(x):$

$M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)$

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

$(M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)$

两边积分，得：

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,$

其中$C$是一个常数。于是，

$y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,$

为了求出函数$M(x)$，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

$(M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad$

与(2)比较，可知$M(x)$满足以下微分方程：

$M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,$

两边除以$M(x)$，得：

${\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)$

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.$

我们可以看到，$M'(x)=a(x)M(x)$的性质在解微分方程中是十分重要的。$M(x)$称为积分因子。

例子

解微分方程

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

我们可以看到，$a(x)={\frac {-2}{x}}$：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

两边乘以$M(x)$，得：

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

或

${\frac {y}{x^{2}}}=C$

可得

$y(x)=Cx^{2}.$

一般的应用

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

可以看到，${\tfrac {dy}{dt}}$是一个积分因子：

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

利用复合函数求导法则，可得：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)$

因此

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}$

利用分离变量法，可得：

$\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},$

这就是方程的通解。

参见

• 微分方程
• 乘法定则
• 全微分

参考文献

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.