超現實數

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在數學上，超現實數系統（英語：Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。

超现实数树的可视化。

超現實數是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述

康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 $\{L|R\}$。这两个集合要求 $L$ 里的每个元素都严格小于每个 $R$ 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：$\{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2$。

整数及二进分数

让我们先来看几个简单的例子。

$\{|\}=0$

$\{0|\}=1$

$\{1|\}=2$

$\{|0\}=-1$

$\{|-1\}=-2$

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

$\{0|1\}={\frac {1}{2}}$

$\left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}$

$\left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}$

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

其他实数

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：${\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}$，$\pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}$，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数

根据归纳法，我们可以构造出 $\omega =\{0,1,2,3\ldots |\}$，$\omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}$ 等无穷大的数，${\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}$ 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

更多的数

我们定义 $P_{0}={0}$。

若 $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}$ 且 $x\not \in P_{i}$，那么 $x\in P_{i+1}$，这在直观上等价于“$x$是在第$i$天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

• $1,-1\in P_{1}$
• $2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}$
• $\pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }$
• $\omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}$
• $\omega +\pi \in P_{2\omega }$，其中$2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}$
• $\forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}$

我们将超现实数集合称作 $\mathbb {No}$。

序关系

给定 $x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}$，我们（递归地）定义 $x\leq y$ 当且仅当以下两命题同时成立：

• 没有一个 $x_{L}\in X_{L}$ 符合 $y\leq x_{L}$，
• 没有一个 $y_{R}\in Y_{R}$ 符合 $y_{R}\leq x$。

那么可以自然地定义 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。

我们分别将 $x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0$ 称为 $x$ 负、 $x$ 正、 $x$ 非正、 $x$ 非负。

我们定义 $x\|y$ 表示 $x\leq y$ 与 $y\leq x$ 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

运算

加法

我们定义超现实数之间的加法为 $x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}$，其中 $X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$。

加法逆元

我们定义负号（加法逆元）为 $-x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}$，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

乘法

我们定义乘法运算为${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$。

乘法逆元

我们定义（正数的）乘法逆元为${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$，这样除法就是 ${\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)$。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取${\textstyle y=3=\{2|\}}$ 那么 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 会有一个 ${\textstyle 0}$ 作为左项，导致了${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$ 会是一个右项。这又意味着 ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$ 作为左项、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$ 作为右项，以此类推，所以我们有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ${\frac {1}{3}}$，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 ${\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)$。

子集对应

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设$x\in \mathbb {R} ,x=A|A'$，其中 $A,A'\subset \mathbb {Q}$，那么立刻可知存在 $X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}$ 是 $x$ 的一个超现实数表示，其中 $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No}$ 是有理数到超现实数的域同態。

序数

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为$\mathbb {Ord}$，那么我们有：

• $f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}$

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 $\omega -1$ 这一式子的值在序数中的结果是 $\omega$，而在超现实数中则是 $\{0,1,2,\ldots |\omega \}$.

博弈

如果去除超现实数定义中对所有 $L<R$ 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。

显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 $\star =\{0|0\}$ 就不是，其满足 $\star \|0$。

可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。

我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 $G$ 和 $0$ 的相对关系。

• 若 $G=0$，则后手必胜。
• 若 $G>0$，则左玩家必胜。
• 若 $G<0$，则右玩家必胜。
• 若 $G\|0$，则先手必胜（英語：fuzzy game）。

有以下这些特殊的游戏：

• $\star =\{0|0\}$
• $\uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}$
• $\pm 1=\{1|-1\}$

可以发现，关于他们有这么几个性质：

• $\star \|0$
• $\forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i$
• $\forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x$ （比所有超现实数更接近0）
• $\star +\star =\uparrow +\downarrow =0$
• $(\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0$

可以用于分析复杂的游戏。

暫譯術語

• 超現實數（Surreal）
• 無窮量（Infinitesimal）
• 格羅滕迪克宇集