链式法则

链式法则，台湾地区亦称连锁律（英語：Chain rule），用于求合成函数的導數。

正式表述

兩函數 $f$ 和 $g$ 的定義域 ($D_{f}$ 和 $D_{g}$) 、值域 ($I_{f}$ 和 $I_{g}$) 都包含於實數系 $\mathbb {R}$ ，若可以定義合成函數 $g\circ f$ (也就是 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing$ )，且 $f$ 於 $a\in D_{f}$ 可微分，且 $g$ 於 $f(a)\in I_{f}\cap D_{g}$ 可微分，則

${(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

也可以寫成

${\frac {dg[f(x)]}{dx}}{\bigg |}_{x=a}={\frac {dg(y)}{dy}}{\bigg |}_{y=f(a)}\cdot {\frac {df}{dx}}{\bigg |}_{x=a}$

例子

求函数 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$的导数。

设 $g(x)=x^{2}+1$

$h(g)=g^{3}\to h(g(x))=g(x)^{3}.$

$f(x)=h(g(x))$

$f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^{2}(2x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.$

求函数 $\arctan \,\sin \,x$的导数。

${\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}$

${\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}$

证明

嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

$f$ 和 $g$ 都是实函数，若可以定義合成函數 $g\circ f$ 且

• $\lim _{x\to a}f(x)=L$
• $\lim _{y\to L}g(y)=g(L)$

則有

$\lim _{x\to a}g[f(x)]=g(L)$

只要展開極限的δ-ε定義，並考慮 $f(x)$ 等於或不等於 $L$ 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 $G$ ，其定義域 $D_{G}=D_{g}$ ， 而對應規則為

$G(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)}}&y\neq f(a)\\\\g^{\prime }[f(a)]&y=f(a)\end{cases}}$

和一個函數 $F$ ，其定義域 $D_{F}=D_{f}$ ， 而對應規則為

$F(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&x\neq a\\\\f^{\prime }(a)&x=a\end{cases}}$

這樣，考慮到 $g\circ f$ 於 $a$ 的導數是以下函數（定義域為$D_{g\,\circ f}$）的極限

$\lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=\lim _{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)$

因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以 $f$ 於 $a$ 連續、 $G$ 於 $f(a)$ 連續，故根據上面的極限定理有

$\lim _{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime }[f(a)]$

而且針對一開始可微的前提有

$\lim _{x\to a}F(x)=f^{\prime }(a)$

再根據乘法的極限性質有

$\lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

即為所求。 $\Box$

多元复合函数求导法则

考虑函数z = f(x, y)，其中x = g(t)，y = h(t)，g(t)和h(t)是可微函数，那么：

${\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.$

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u = h(x, y)，v = g(x, y)，且这些函数都是可微的。那么，z的偏导数为：

${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.$

如果我们考虑

${\vec {r}}=(u,v)$

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与${\vec {r}}$的偏导数的数量积：

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}.$

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

${\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}.$

高阶导数

复合函数的最初几个高阶导数为：

${\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$

${\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}$

${\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}$

${\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.$

参见

• 乘积法则
• 除法定则