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双丸塔

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双丸塔
同相双五角丸塔异相双五角丸塔
以同相/异相双五角丸塔为例
类别双丸塔
对偶多面体#对偶多面体一节
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类2个n边形
2n个五边形
4n个三角形
对称性
对称群同相:Dnh英语Dihedral symmetry in three dimensions, [n,2], (*n22), 4n
异相:Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Dn, [n,2]+, (n22), 2n
特性
图像
Dual of pentagonal birotunda.svg
#对偶多面体一节
对偶多面体
注:为底面边数 。

几何学中,双罩帐又称为双丸塔birotunda),是指一系列属于二面体群的多面体,由两个丸塔通过边数较大的底面以底面对底面的方式贴合而成[1]。其与双台塔英语Bicupola (geometry)类似但不是正方形和三角形交替构成,而是五边形和三角形交替并绕轴构成。双丸塔有两种形式,分别为以相同相位叠合,称为同相双丸塔orthobirotunda[2],和以相异相位叠合,称为异相双丸塔gyrobirotunda[2]。同相双丸塔可以视为丸塔以边数较多的底面作为镜像面镜射产生另一个丸塔组合而成的立体;而异相双丸塔则为两个丸塔之间除了是镜像之外,还差了一个旋转角叠合构成。

双五角丸塔是唯一一个能够以所有面皆为正多边形的形式存在的丸塔。两种形式中,一个是约翰逊多面体,另一个是半正多面体:[3]

例子

双丸塔有无限多种,最小的双丸塔是双三角丸塔。能以所有面皆为正多边形之形式存在的双丸塔只有双五角丸塔[2],其他双丸塔的五边形面都会有一定程度的形变,即使其所有边等长,也未必能所有角等角。[2]

双丸塔根据两底面的方向性可以分成“同相”和“异相”两种情况。其中,“同相”表示顶面和底面相同方向,而“异相”则表示顶面和底面差了一个旋转角,角度为底面多边形中心角的一半。

双丸塔
4 5 6 7 8
Green square orthobirotunda.svg
同相双四角丸塔
Green pentagonal orthobirotunda.svg
同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda
Green hexagonal orthobirotunda.svg
同相双六角丸塔
Green heptagonal orthobirotunda.svg
同相双七角丸塔
Green octagonal orthobirotunda.svg
同相双八角丸塔
Green square gyrobirotunda.svg
异相双四角丸塔
Green pentagonal gyrobirotunda.svg
异相双五角丸塔
Green hexagonal gyrobirotunda.svg
异相双六角丸塔
Green heptagonal gyrobirotunda.svg
异相双七角丸塔
Green octagonal gyrobirotunda.svg
异相双八角丸塔

对偶多面体

双丸塔对偶
同相双六角丸塔的对偶多面体异相双六角丸塔的对偶多面体
以同相/异相双六角丸塔的对偶多面体为例
类别双丸塔对偶
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类同相:

异相:

对称性
对称群同相:Dnh英语Dihedral symmetry in three dimensions, [n,2], (*n22), 4n
异相:Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Dn, [n,2]+, (n22), 2n
特性
注:为底面边数 。

双丸塔可以分成同相双丸塔和异相双丸塔,这两种立体的对偶多面体各不相同。其中,异相双丸塔的对偶多面体由筝形菱形组成,尤其是异相双五角丸塔的对偶多面体全部皆由菱形构成,是一种卡塔兰立体——菱形三十面体[5]

异相双丸塔的对偶多面体
4 5 6 7
Dual of square gyrobirotunda.svg
异相双四角丸塔
的对偶多面体
Dual of pentagonal gyrobirotunda.svg
异相双五角丸塔
的对偶多面体
菱形三十面体
Dual of hexagonal gyrobirotunda.svg
异相双六角丸塔
的对偶多面体
Dual of heptagonal gyrobirotunda.svg
异相双七角丸塔
的对偶多面体
Green square gyrobirotunda.svg
异相双四角丸塔
Green pentagonal gyrobirotunda.svg
异相双五角丸塔
Green hexagonal gyrobirotunda.svg
异相双六角丸塔
Green heptagonal gyrobirotunda.svg
异相双七角丸塔

而同相双丸塔的对偶多面体除了构成异相双丸塔的筝形菱形外,还会在赤道面上有一圈梯形

同相双丸塔的对偶多面体
4 5 6 7
Dual of square orthobirotunda.svg
同相双四角丸塔
的对偶多面体
Dual of pentagonal orthobirotunda.svg
同相双五角丸塔
的对偶多面体
Dual of hexagonal orthobirotunda.svg
同相双六角丸塔
的对偶多面体
Dual of heptagonal orthobirotunda.svg
同相双七角丸塔
的对偶多面体
Green square orthobirotunda.svg
同相双四角丸塔
Green pentagonal orthobirotunda.svg
同相双五角丸塔
Green hexagonal orthobirotunda.svg
同相双六角丸塔
Green heptagonal orthobirotunda.svg
同相双七角丸塔

相关多面体

双丸塔柱

双丸塔柱是指在双丸塔的两个丸塔中间加入柱体所形成的立体,与双丸塔一样,可分为“同相”及“异相”两种。仅有同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda属于约翰逊多面体。[6][7]

双丸塔柱
4 5 6 7
Green elongated square orthobirotunda.svg
同相双四角丸塔柱
Green elongated pentagonal orthobirotunda.svg
同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda
Green elongated hexagonal orthobirotunda.svg
同相双六角丸塔柱
Green elongated heptagonal orthobirotunda.svg
同相双七角丸塔柱
Green elongated square gyrobirotunda.svg
异相双四角丸塔柱
Green elongated pentagonal gyrobirotunda.svg
异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda
Green elongated hexagonal gyrobirotunda.svg
异相双六角丸塔柱
Green elongated heptagonal gyrobirotunda.svg
异相双七角丸塔柱

双丸塔反角柱

双丸塔反角柱又称为双丸塔反棱柱是指在双丸塔的两个丸塔中间加入反角柱所形成的立体。仅有双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda属于约翰逊多面体。[8]

双丸塔反角柱
4 5 6 7
Green gyroelongated square birotunda.svg
双四角丸塔反角柱
Green gyroelongated pentagonal birotunda.svg
双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda
Green gyroelongated hexagonal birotunda.svg
双六角丸塔反角柱
Green gyroelongated heptagonal birotunda.svg
双七角丸塔反角柱

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Johnson, Norman W.英语Norman Johnson (mathematician), Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  3. ^ Victor A. Zalgaller英语Victor Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN. 
  4. ^ Icosidodecahedron. polyhedra.tessera.li. [2023-01-17]. (原始内容存档于2023-01-17). 
  5. ^ Icosidodecahedron. polyhedrongarden.com. [2023-01-17]. (原始内容存档于2023-01-17). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Orthobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Gyrobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Gyroelongated Pentagonal Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).