項測試

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第n項測試the n-th term test for divergence)是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式[1]

  • 或極限不存在,則 發散。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名[2]

用途

項測試和其他較強的收斂測試不同,此測試方式只能確認級數是否發散,不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件,無法判定級數是收斂或是發散。例如:

  • 可能收斂也可能發散,此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件,卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例:

配合項測試及其他測試,可得到以下的結果:

  • p ≤ 0,根據項測試可知此級數發散。
  • 若0 < p ≤ 1,根據項測試無法判定級數發散或收斂,根據積分判別法可判定此級數發散。
  • 若1 < p,根據項測試無法判定級數發散或收斂,根據積分判別法可判定此級數收斂。

證明

要證明此測試法,一般都會證明其逆否命题(contrapositive)形式;

  • 收斂,則

利用極限證明

sn 是級數的部份和,則上述對數列的假設可推得

因此可得[3]

柯西判別法

級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試:對任意均存在一數字N使得

在所有n > Np ≥ 1的條件下均成立。令p = 1,即可得到[4]

應用範圍

項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間[5]

腳註

  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ 如Rudin (p.60)只提到其相反位置(contrapositive)的形式,沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為nth term test。Stewart (p.709)稱此測試為Test for Divergence
  3. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  4. ^ Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念,但用另一種陳述柯西判別法的方式
  5. ^ Hansen p.55; Șuhubi p.375

參考資料