在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

$a,b,c,d$都是正整數，且$\gcd(a,b),\gcd(a,c),\gcd(a,d),\gcd(b,c),\gcd(b,d),\gcd(c,d),\gcd(b,c,d),\gcd(a,c,d),\gcd(a,b,d),\gcd(a,b,c)$皆不為1，但$\gcd(a,b,c,d)=1$，則$(a+b+c+d)$的最小值是247嗎？為什麼？

让$a=w\times x\times y,b=w\times x\times z,c=w\times y\times z,d=x\times y\times z$，（$w,x,y,z$都是大于1的整数），则$gcd(a,b)=w\times x,gcd(a,c)=w\times y$……$gcd(a,b,c)=w,gcd(a,b,d)=x$……

$w,x,y,z$四个数中，不能有一个数是另外一个数的倍数（比如$w=n\times x$），不然$gcd(a,b,c,d)$就不是1，而是$x$了。

如果要让$a+b+c+d$尽量小，那么$w,x,y,z$也得尽量小， 让$w,x,y,z$尽量小又满足上述条件的话，可以让$w=2,x=3,y=5,z=7$。

于是，$a=30,b=42,c=70,d=105,a+b+c+d=247$。

閣下是不是預設「w,x,y,z兩兩互質」，甚至收窄到「w,x,y,z為兩兩相異質數」？

没有预设，是我的解法有疏漏，不好意思。

设$w=gcd(a,b,c),x=gcd(a,b,d),y=gcd(a,c,d),z=gcd(b,c,d)$，确实根据题目条件有$w,x,y,z$两两互质$\Rightarrow wxy\mid a,wxz\mid b,wyz\mid c,xyz\mid d\Rightarrow a+b+c+d\geq wxy+wxz+wyz+xyz$。