全机率定理(Law of total probability),假设{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割(既 Bn为一完备事件组),且每个集合Bn是一个可测集合,则对任意事件A有全概率公式:
![{\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f629ea8dda22bcc5fa6afe2d066ad753e215f2b)
又因为
![{\displaystyle \Pr(A\cap B_{n})=\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fb0818b6b66cd5fe47f9e31b97421c22d7d91f)
此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率,所以全概率公式又可写作:
![{\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7929b8e24c4af9920cf0c17f5793df768d03562)
全概率公式将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况或不同原因 Bn下发生的简单事件的概率的求和问题。
条件概率的期望值
在离散情况下,上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立:
![{\displaystyle \Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1987be6e758855e8337db8c020f36c351a3fdb04)
此处N是任意随机变量。
这个公式还可以表达为:
- "A的先验概率等于A的后验概率的事前期望值。
参见