在数学中,特别是黎曼几何跟微分流形的理论里,音乐同构(Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism)是指(伪)黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛
之间的同构,这个同构由黎曼度量给出。不过一般地,只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定义这样的同构。在带有内积(或更一般的,非退化的双线性形式)的有限维向量空间
,这些同构自然给出了
和其对偶空间
之间的同构,在这种情况一般称这些映射为典范同构(canonical isomorphosm)。
这些运算在流形上的张量场理论里也称为指标的上升和下降。
正式定义
黎曼流形 M 的黎曼度量
是一个二阶的对称、正定张量场
。在任意一点 x∈M,黎曼度量会诱导出一个映射
![{\displaystyle {\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c2331b94887ce7b058c4ad2863d434c44802d8)
这映射给了点
的切空间跟馀切空间之间的一个线性同构,对任何切向量 Xx 属于 TxM,定义
![{\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531f0a6d68db06b3eb19203a338a4f76d030ce91)
其中符号
代表 流形上的黎曼度量。这意味着,
![{\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65967ebea1d8fe5a78c1135bf1db9b00058f1f5)
这些线性映射的集合定义了一个丛同构
![{\displaystyle {\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe7d44794988e9ccc8a59ff7992c56ddae9b427)
这是一个特别的微分同胚,在每个切空间上为线性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标
下,设度量矩阵为
,逆矩阵为
,向量场
。则这个同构会将
映射到
![{\displaystyle {\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf47261ddbcc9c6aad1d85c3225b5f0a7c4ba916)
这里使用了爱因斯坦求和约定。
以上同构称为降号音乐同构(flat)用符号
表示,例如以上的函数
可表示成:
;而其逆运算称为升号(sharp)用符号
表示:降号下降指标,升号上升指标,(Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。升号用局部坐标表示为:
![{\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43fe4a6a86cc6a9d205f86895d06f07bc6107d4)
这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式,任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构,对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中,这个同构非常重要,哈密顿向量场便是由这个同构导出的。
名称由来
同构
与其逆
称为“音乐同构”是因为是因为常常用两种音乐符号
来代替这些同构,比如
会写成
,
会写成
,它们将指标向下、向上移动。例如,流形上的向量场
经过
映射会变成馀向量场:
![{\displaystyle (\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c98d1afa5526236b83698c95926791c8944599e)
这里
将
映射到
,系数的指标从上到下,所以这运算用降号符号
表示。
而馀向量
,经过
运算会变成向量
![{\displaystyle (\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf13b0c7fc4bab1de92506f88997cb04158b5ec)
所以指标向下、向上移动好似符号降号(
)与升号(
)下降与上升一个半音的音高(Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。
梯度、散度与旋度
音乐同构可以用来定义
上无坐标形式的梯度、散度与旋度:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020142745c4530b2d3dc8a74cd94b67435db876)
这里
分别是
里的函数跟向量场,
是霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999,p.135)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上,第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。
此外,值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来,设 v 与 w 是
中向量场,容易证明
![{\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cd13945ae5f45ed5caf680aa45cffb297c8432)
参考文献
- Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
- Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .