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劳斯阵列的推导

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劳斯阵列是劳斯–赫尔维茨稳定性判据中,用来判断系统是否稳定的方式,是透过系统的特征多项式系数所建立的阵列。劳斯阵列和劳斯–赫尔维茨理论英语Routh–Hurwitz theorem是古典控制理论的核心,结合了欧几里得算法施图姆定理来计算柯西指标英语Cauchy indices

柯西指标

给定系统

假设的根都不在虚轴上,并且令

= 是的根的实部为负数的个数,
= 是的根的实部为正数的个数,

因此可得

以极座标型式表示,可得

其中

根据(2)会发现

其中

的第i个根的实部为正,则(用y=(RE[y],IM[y])的表示法

同样地,若的第i个根的实部为负,

由(9)至(11)式可知,若的第i个根实部为正,则,由(12)至(14)式可知,若的第i个根实部为负,则。因此

若定义

则可以得到以下的关系

结合(3)式及(17)式可得

因此,给定次的方程,只需要计算,就可以得到根的实部为负的个数,以及根的实部为正的个数

θ相对tan(θ)的图
图1
相对的图


配合(6)式及图1,相对的图,将在区间(a,b)之间变化,其中,而,都是的整数倍,若此变化会使函数增加,表示在从点a到点b的过程中,“跳到”的次数比从“跳到”的次数多一次。相反的,此变化会使函数减少,表示在从点a到点b的过程中,“跳到”的次数比从“跳到”的次数少一次。

因此,跳到的次数,减掉同函数从跳到的次数,两者差的倍。假设在处,有定义


Graph of θ versus −cotan(θ)
图2
相对的图

若起始点是在不连续点(, i = 0, 1, 2, ...),则因为公式(17)(都是整数,因此也是整数),其结束点也会在不连续点。此时可以调整指标函数(正跳跃和负跳跃的差值)的计算方式,将正切函数的X轴移动,也就是在上加。此时的指标函数在各种的系数组合下都有定义,就是在起始点(及结束点)连续的区间(a,b) = 内计算,再在起始点连续的区间,计算

差值从正跳跃和负跳跃的差值,若计算从所产生的差值,即为相角正切的柯西指标英语Cauchy Index,其相角为,视是否是的整数倍而定。

劳斯准则

为了要推导劳斯准则,会将的奇次方项和偶次方项分开来列:

因此可得到

为偶数:

为奇数:

可以看出若为奇数,根据(3)式,为奇数。若为奇数,也是奇数。同样的,若 是偶数,也是偶数。(15)式可以看出若是偶数,的整数倍。因此在为偶数时,有定义,是n为偶数时使用的正确指标,在而在为奇数时,有定义,也是n为奇数时使用的正确指标。

因此,根据(6)式及(23)式,为偶数时:

因此,根据(19)式及(24)式,为奇数时:


因此可以计算相同的柯西指标:

参考资料

  • Hurwitz, A., "On the Conditions under which an Equation has only Roots with Negative Real Parts", Rpt. in Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Ed. R. T. Ballman et al. New York: Dover 1964
  • Routh, E. J., A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: Macmillan, 1877. Rpt. in Stability of Motion, Ed. A. T. Fuller. London: Taylor & Francis, 1975
  • Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.