任何帶有結構群 G 的主叢 給出了一個李群胚,即在 M 上的 ,這裡 G 作用在二元組的每個分量上。通過配對群胚相容的表示定義複合。
森田態射與光滑棧
除了群胚的同構,李群胚之間有一個粗糙一點的等價關係,即所謂的森田等價。一個很一般的例子是 切赫群胚之間的森田態射,如下所述。設 M 是一個光滑流形而 是 M 的開覆蓋。定義不交並 ,顯然有淹沒 。為了說明流形 M 的結構定義態射集合 ,這裡。源與靶映射定義為嵌入 與 。如果我們將 視為 M 的子集,乘法是顯然的( 與 一致的點事實上在 M 中相同,也在 里)。
這個切赫群胚事實上是 的拉回群胚,即 M 在 p 下的平凡群胚。這便是什麼為森田態射。
為了得到等價關係的概念,我們需要這個構造具有對稱性與傳遞性。在這種意義下,我們說兩個群胚 與 森田等價若且唯若存在第三個群胚 以及從 G 到 K 與 H 到 K 的兩個森田態射。傳遞性是群胚主叢範疇中有趣的構造。
Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005