環(英文:Ring)是一種帶有兩個二元運算(抽象化的「加法」和「乘法」)、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象,並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。(觀點來源?)
環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解(給出那些見解),在部份情況下甚至不要求乘法有結合律(給出真的這樣定義的作者)。然而除非明確聲明,否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。
定義
給定一個集合
以及兩個定義在
上的二元運算
和
[註 1]。如果
、
和
具有以下八個性質[註 2],則稱
[註 3]構成了一個環。
是一個交換群:
- 加法有結合律——對所有的
,都有:![{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b7b8d31d5845966e6abdbb030c73f343c17d4e)
- 加法有交換律——對所有的
,都有:![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3)
- 有加法單位元——存在某個[註 4]
,使得所有的
,都有: ![{\displaystyle 0_{R}+r=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6725582f8b60f30d217124d261a62e1e4cbd4ca4)
- 有加法反元素——對所有的
,存在某個[註 4]
,使得: ![{\displaystyle -r+r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce505ae92847e09e27201ebd812cc263183e74d)
是一個有單位元的半群:
- 乘法有結合律——對所有的
,都有: ![{\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74ad4422b4ae5d85f956edfe3696c5a07311c8c)
- 有乘法單位元——存在某個[註 4]
,使得所有的
,都有:![{\displaystyle 1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537d73f117b6326af37dc32721f192e0ee34f0c5)
- 乘法對於加法滿足分配律:
- (左)分配律——對所有的
,都有:![{\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124639ac11ec6df7722e10607394f14b70d36576)
- (右)分配律——對所有的
,都有:![{\displaystyle (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0b7b15369b78360cb3de508c2ac70e9d1f6047)
環的乘法經常依照慣例[註 5],不會寫出「
」這個符號。例如(左)分配律就可以寫成:
![{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aad41bae613e8522d4d598bcf9f52772f472c55)
此外,加法單位元也經常簡稱為「零元素」、「零」、「
![{\displaystyle 0_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911229219f2ec31e016369e0ea56eef4b1f6b0c1)
」、「
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
」。(誰說的?)
定義的分歧
環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前,多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義,不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後,越來越多的著名教科書作者(例如:尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德、塞爾日·蘭)開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者,通常會將有乘法單位元的環稱為單位環( unital ring );反之,要求乘法單位元存在的作者,可能會將不含乘法單位元( identity )的環( ring )稱為 rng 、rung[註 6] 或偽環、準環、擬環( pseudo-ring ),或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。(誰這樣做?)
另外在交換代數的文獻中,通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。(給出這樣做的文獻)
例子
- 整數
、有理數
、實數
和複數
,連同尋常的加法和乘法,構成了一個環。它們的加法單位元是
,乘法單位元是
,是最典型的實際例子。(誰用這些東西當例子?)
- 整係數多項式環
、有理係數多項式環
,實係數多項式環
、複係數多項式環
,連同多項式加法和乘法,構成一個環。它們的加法單位元也是
,乘法單位元也是
。更一般地,可以考慮任何環
的多項式環
。(誰用這些東西當例子?)
- 整係數有理函數
、有理係數有理函數
,實係數有理函數
、複係數有理函數
,連同有理函數的加法和乘法,構成一個環。它們的加法單位元依然是
,乘法單位元依然是
。(誰用這些東西當例子?)更一般地,可以考慮任何環
的有理函數環
;而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
- 大小為
的實係數矩陣
、實係數矩陣
、實係數矩陣
、或複係數矩陣
,連同矩陣加法和矩陣乘法,構成一個環。它們的加法單位元是單位矩陣 :![{\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807217858dc2579249dffcc5d07442b5f7624764)
乘法單位元則是零矩陣 :![{\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b7c2f557a0ad29f61a1cf96e496ed6272914c0)
同樣的,可以考慮任何環
的矩陣環
。矩陣環也是典型的非交換環。(誰用這些東西當例子?)
- 如果集合
只有一個元素,那
只可能定義出唯一的一種環結構——零環[註 7]( Zero ring )。(誰用這些東西當例子?)
基本性質
- 零元素是唯一的(來源請求)
- 零乘以[註 8]任何東西都是零(來源請求)
- 乘法單位元是唯一的(來源請求)
- 任何元素如果有乘法反元素,那是唯一的(來源請求)
- 多個環元素的分配律:(來源請求)
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcaab83b7bea65c090578083549de1b236c9471)
- 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數,只要定義(誰這樣定?)以下的係數運算規則:
![{\displaystyle na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cd17105a79b8f40d0268fadd52f775c3f5312d)
這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性,例如:
![{\displaystyle n(ab)=(na)b=a(nb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd4c0e9232b24de143acbb560b24bc24309935e)
![{\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54872a49fd86963cfbdb69ff5f17e27842351173)
![{\displaystyle n(a+b)=na+nb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3891631472a87a884e2c7e2c9597912da7b1cb14)
![{\displaystyle (n+m)a=na+ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32452777030fd281210c8071bee9ebf78dd3d96)
- 而類似地如果把多次相加改成多次相乘,那麼可以[註 9]定義(誰這樣定?)冪運算:
![{\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b575adaceed11775237525ae32e752214b4ce3e)
- 二項式展開——如果
,那麼它們總和的次方可以這樣計算:![{\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c81d780775697153e249969664cad0609a3ab91)
這可以推廣到多個元素
總和的次方——如果任兩個元素的
和
的乘法都可以交換(即
),那麼:![{\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450abd6e42faf38276e9a67fd0a5f8fa81aaea6f)
(來源請求)
基本的相關概念
特殊的環元素
在初等環論中,以下四類型的環元素在任意的環[註 10]中都有定義,它們是經常被討論的對象:
- 可逆元( Unit 或 Invertible element ):有乘法反元素的環元素。(定義請求)
- 零因子( Zero divisor ):相乘後為零的非零元素;相當於「零的因數」。(定義請求)
- 冪零元( Nilpotent ):自乘多次後變成零的環元素。(定義請求)
- 冪等元( Idempotent ):自乘任意多次都不變的環元素。(定義請求)
環同態、核、像
在環論中,環同態描述了環與環之間的關係。一個從環
送往環
的環同態( Ring homomorphism )
簡單來說是一種「維持環結構[註 11]」的映射(觀點來源?);而具體來說,
要具有以下三個性質:(定義請求)
- 維持加法的結構——對所有的
,都有:![{\displaystyle f(a+b)=f(a)f(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca664081f7da306197526d8a9a9d600fb170777d)
- 維持乘法的結構——對所有的
,都有:![{\displaystyle f(ab)=f(a)(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7276b34d16f2367f0894b8a19c38464da51f90b2)
- 維持單位元的結構——也就是:
![{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c922d3c4a7aa35a9703521f921971b0e8fa7832)
對一個環同態
來說,有以下兩個密切相關的概念:
- 核( Kernel )——送到零元素的那些元素:
![{\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dcfaac66ed4dad5d84252b25b092a50fa27950)
- 像( Image )——把元素都送過去後的結果:
![{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262c33e608c3444cd81c49d84437e5189931f0b0)
子環、(雙邊)理想、商環
給定一個環
,我們可以考慮它的:
- 子環( Subring )——某個送往
的環同態在
內的像。[註 12](證明?)
- 雙邊理想( Two side ideal )——某個定義在
上的環同態的核。(證明?)
- 商環( Quotient )——(同構意義下)某個定義在
上的環同態的像。[註 13](證明?)
一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。(觀點來源?)
具有額外性質的環
交換環( commutative ring )
如果一個環
還額外滿足:
- 乘法的交換律:對於所有
:
![{\displaystyle a\times b=b\times a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d66fd09c6072e183e3395a174fd66dac99e514)
則稱
是一個交換環(定義請求)(P M Cohn不要求整環是交換的)。交換環是最被深入研究的一類環(觀點請求),其中包括以下幾類:
- 整環( Integral domain ):沒有零因子的交換環。(定義請求)
- 唯一分解整環( Unique factorization domain ):可以唯一分解任何元素的整環。(定義請求)
- 主理想整環( Principal ideal domain ):所有理想都是主理想的整環。(定義請求)
- 歐幾里得整環( Euclidean domain ):可以進行歐幾里得演算法(輾轉相除法)的整環。(定義請求)
- 體( Field ):非零元素都有乘法反元素的交換環。(定義請求)
- 代數閉體( Algebraically closed field ):所有多項式[註 14]都有根的體。(定義請求)
非交換環
所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環,這樣子的環有:
- 除環( Division ring ):非零元素都有乘法反元素的環(可能不交換)。(定義請求)
- 單環( Simple ring ):沒有非平凡雙邊理想的環。(定義請求)
從已知的環建構出其他環的方式
直積
給定數個環
,可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積:
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fb22bac7d3a8a67cddf42ccef60f7c04c8c55c)
可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73004c6d93e3348d1ea7d78094f3a57e740ee988)
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e097ac9682380eaf2289cc7a51aafb65a5e0e5d)
這使得
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d101cec00984b78d6d255d8332999bc7152614)
構成一個環。稱為
![{\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1438da717afdf1af4c0eb44e854b9d46ae51e31)
的
直積( Direct product );它的法單位元是
![{\displaystyle (0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201ebf7e517a2d81912a5ad3a98d5afa425ce382)
乘法單位元是
這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。(定義請求)
多項式環
給定一個環
,可以考慮以這個環作為係數的多項式:
![{\displaystyle R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499c05dd2a1a0724d0674fe156ea636808238d89)
可以仿照一般的實係數多項式運算規則,為這個集合定義加法和乘法:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a88d15db3bfa012c546ee8820301de247744dd)
![{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548ff590c16b677bd89112f52211fdb2af271282)
在這樣的運算規則下,
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
被稱為是
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
的
多項式環;它的加法單位元以及乘法單位元與
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
相同。(定義請求)
矩陣環
給定一個環
,可以考慮以這個環作為係數、大小為
的矩陣:
![{\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b6bcc526156fccba1f20899eece3d0c21fde95)
同樣可以仿照一般的矩陣運算規則,為這個集合定義加法和乘法:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c19994d8f15d6180811ad68e8a054647612f3)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321b02f78ce144e5b40aa435d000399650630e0b)
那麼
![{\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a86869593b18879e4a600aa04805e78657901a2)
在這樣的運算規則下,構成一個環。它的加法單位元是單位矩陣 :
![{\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff8346380ab7e7649d092af8ef1aebbec83644f)
乘法單位元則是零矩陣 :
![{\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc65e181aa0df073791e5ec3473745e737586b54)
同樣的,可以考慮任何環
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
的矩陣環
![{\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a86869593b18879e4a600aa04805e78657901a2)
。一般來說,矩陣環都不是交換環。(定義請求)
局部化與分式體
局部化的概念並不是對任何的環都有效,在大多數時候,只會考慮交換環的局部化。粗略地說,局部化是「加入某些元素的乘法反元素」;而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。
更抽象地講,一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」;在這種意義下,分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。(觀點和定義請求)
交換環與代數幾何的關係
交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性,體現在交換環範疇
和仿射概形範疇
有著如下對偶性:(證明?)
![{\displaystyle \mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8db1cac4f400cb23b3fc3855f747772e071f029)
這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。(誰說的)
參見
備註
引用
參考文獻
要求「環」要有乘法單位元的教科書
- Atiyah, Michael Francis; MacDonald, Ian Grant. Introduction To Commutative Algebra. Westview Press. 1994. ISBN 978-0201407518 (英语).
- Bourbaki, Nicolas. Algèbre: Chapitres 1 à 3. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 2007. ISBN 978-3-540-33849-9. doi:10.1007/978-3-540-33850-5 (法语).
- Cohn, Paul Moritz. Introduction to Ring Theory. Springer. 2000. ISBN 978-1-4471-0475-9 (英语).
- Eisenbud, David. Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry. Springer. 1995. ISBN 978-1-4612-5350-1 (英语).
- Farb, Benson; Dennis, R. Keith. Noncommutative Algebra. Springer. 1993. ISBN 978-0-387-94057-1 (英语).
- Jacobson, Nathan. Basic Algebra I 第二版. Dover. 2009. ISBN 978-0486471891 (英语).
- Lang, Serge. Algebra 第三版. Springer. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4 (英语).
- Lang, Serge. Undergraduate Algebra 第三版. Springer. 2005. ISBN 978-0-387-27475-1 (英语).
不要求「環」要有乘法單位元的教科書
- Adhikari, Mahima Ranjan; Adhikari, Avishek. Basic Modern Algebra with Applications. Springer. 2014. ISBN 978-81-322-1599-8 (英语).
- Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. ISBN 978-1-4613-8132-7 (英语).
-
- Durbin, John Riley. Modern Algebra: An Introduction 第六版. Wiley. 2003. ISBN 978-0470384435 (英语).
- Eie, Minking (余文卿); Chang, Shou-Te (張守德). A Course on Abstract Algebra 第二版. World Scientific. 2018. ISBN 9780471433347 (英语).
- Fraleigh, John B. A First Course in Abstract Algebra 第七版. Pearson. 2014. ISBN 9781292024967 (英语).
- Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 (英语).
- Hungerford, Thomas William. Algebra 第三版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 (英语).
- Herstein, Israel Nathan. Topics in Algebra 第二版. John Wiley & Sons. 1991. ISBN 978-0471010906 (英语).
- Lal, Ramji. Algebra 1: Groups, Rings, Fields and Arithmetic. Springer. 2017. ISBN 978-981-10-4253-9 (英语).
- Wallace, David Alexander Ross. Groups, Rings and Fields. Springer. 1998. ISBN 978-1-4471-0425-4 (英语).
外部連結