威理博·斯涅尔
折射機制示意圖。
當光波 從一種介質傳播到另一種具有不同折射率 的介質時,會發生折射 現象,其入射角與折射角之間的關係,可以用斯涅尔定律 (Snell's Law )來描述。斯涅尔定律是因荷兰 物理学家威理博·斯涅尔 而命名,又稱為「折射定律」。
在光學 裏,光線跟蹤 科技應用斯涅尔定律來計算入射角與折射角。在實驗光學與寶石學 裏,這定律被應用來計算物質的折射率 。對於具有負折射率 的负折射率超材料 (metamaterial ),這定律也成立,允許光波因負折射角而朝後折射。
斯涅尔定律表明,當光波從介質1傳播到介质2時,假若兩種介質的折射率不同,則会发生折射現象,其入射光和折射光都處於同一平面,稱為「入射平面」,并且与界面法线的夹角满足如下关系:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}
;
其中,
n
1
{\displaystyle n_{1}}
、
n
2
{\displaystyle n_{2}}
分别是两種介质的折射率 ,
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
和
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
分别是入射光、折射光与界面法线的夹角,分别叫做「入射角」、「折射角」。
這公式稱為「斯涅尔公式」。
斯涅尔定律可以從費馬原理 推導出來,也可以從惠更斯原理 、平移對稱性 或馬克士威方程組 推導出來。
歷史
伊本·沙爾 的手稿頁面複印,證明他确实發現了折射定律。
按照沙爾作圖法詮釋,假設將長度比率
L
1
/
L
2
{\displaystyle L_{1}/L_{2}}
調整為與
n
1
/
n
2
{\displaystyle n_{1}/n_{2}}
相等,則入射線與折射線滿足斯涅尔定律。
最早有系統研究折射問題的學者是住在埃及的希臘人托勒密 。西元二世紀,在著作《光學》(Optics)第五卷裏,他提出了他的折射實驗與定律。但是,他從做實驗得到的數據與結論並不準確,沒有給出正弦 定律。在那時候,希臘學者不清楚正弦的概念。[ 1] [ 2]
為巴格達 宮廷效勞的伊朗 學者伊本·沙爾 (Ibn Sahl)在984年的專著《論點火鏡子與透鏡》(On Burning Mirrors and Lenses)裏最先正確地描述折射定律。[ 3] [ 4] 他應用這定律來找出能夠將光聚焦而不會產生幾何像差 的透鏡 的形狀。這種透鏡稱為曲折透鏡 (anaclastic lens)。[ 5] 很可惜的是其它學者並沒有注意到他的研究結果。之後很多年,人們都是從托勒密的錯誤理論開始研究折射。[ 1]
十一世紀初,阿拉伯學者海什木 重做托勒密的實驗。他在著作《光學書》(Kitab al-Manazir, Book of Optics)裏,從做實驗得到的數據,粗略地總結出一些定則。他也沒有得到正弦定律。[ 6]
1602年,英國天文學者托馬斯·哈里奧特 又重新發現了折射定律,可是,他並沒有發表他的結果,雖然他曾經在與约翰内斯·开普勒 通信中提到這件事。[ 7] 1621年,斯涅尔推導出一個數學等價形式,但是在他有生之年,學術界並不知道他的成就。勒内·笛卡儿 在1637年專著《屈光學 》(Dioptrics)裏,獨立地推導出這个定律,並且用他的理論解析了一系列光學問題。在這導引裏,他做了兩個假定,第一個假定是光的傳播速度與介質密度呈正比,第二個假定是光速度沿著界面方向的分量守恆。1662年,皮埃爾·德·費馬 發表了另一種導引,從他的版本的最小作用量原理 推導出同樣的定律,但是費馬的假定是光的傳播速度與介質密度呈反比。因此,他激烈地反駁笛卡儿的解答,認為笛卡爾的假定有誤。[ 1] 1802年,托馬斯·楊 做實驗發現,當光波從較低密度介質傳播到較高密度介质時,光波的波長會變短,他因此推論光波的傳播速度會降低。[ 8]
根據歷史學者以撒·福雪斯 (Issac Vossius)在著作《De natura lucis et proprietate》裏的敘述,笛卡儿先閱讀了斯涅尔的論文,然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張,難以置信;但是很多歷史學者都存疑曾經發生了這回事,費馬與惠更斯分別多次重複地譴責笛卡儿的行為缺失。儘管這不名譽事件所造成的風波,在法國,斯涅尔定律被稱為「笛卡儿定律」,或「斯涅尔-笛卡儿定律」
1678年,克里斯蒂安·惠更斯 在著作《光論》(Traité de la Lumiere)裏表明,應用惠更斯原理 ,可以從光的波動性質,解釋或推導出斯涅尔定律。
從费马原理推導
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子
反射 ,最終抵達點P。
費馬原理 又稱為「最短時間原理」:光線 傳播的路徑是需時最少的路徑[ 9] 。費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值 。例如,對於平面鏡,任意兩點的反射路徑光程是最小值;對於半橢圓形鏡子,其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值;對於半圓形鏡子,其兩個端點Q、P的反射 路徑光程是最大值;又如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射 路徑的光程是拐值。[ 8]
設定介質1、介質2的折射率分別為
n
1
{\displaystyle n_{1}}
、
n
2
{\displaystyle n_{2}}
,光線從介質1在點O傳播進入介質2,
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
為入射角,
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
為折射角。
光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。
從費馬原理,可以推導出斯涅尔定律。光線在介質1與介質2的速度
v
1
{\displaystyle v_{1}}
和
v
2
{\displaystyle v_{2}}
分別為
v
1
=
c
/
n
1
{\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}
、
v
2
=
c
/
n
2
{\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}
;
其中,
c
{\displaystyle c}
是真空 光速。
由於介質會減緩光線的速度,折射率
n
1
{\displaystyle n_{1}}
和
n
2
{\displaystyle n_{2}}
都大於
1
{\displaystyle 1}
。
如右圖所示,從點Q到點P的傳播時間
T
{\displaystyle T}
為
T
=
x
2
+
a
2
v
1
+
b
2
+
(
l
−
x
)
2
v
2
{\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}
。
根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間
T
{\displaystyle T}
對變數
x
{\displaystyle x}
的導數,設定其為零:
d
T
d
x
=
x
v
1
x
2
+
a
2
+
−
(
l
−
x
)
v
2
(
l
−
x
)
2
+
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}
。
根据正弦函数定义,可以得到傳播速度與折射角的關係式:
d
T
d
x
=
sin
θ
1
v
1
−
sin
θ
2
v
2
=
0
{\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}
。
將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到斯涅尔定律:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}
。
從惠更斯原理推導
按照惠更斯作圖法,平面波的直線傳播與球面波的徑向傳播。
惠更斯原理 表明,波前 的每一点可以視为产生球面次波的點波源,而以後任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假設傳播速度為
v
{\displaystyle v}
的波前,在時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
為平面,在這波前的每一點所產生的球面次波,在時間
t
=
Δ
t
{\displaystyle t=\Delta t}
已傳播了距離
v
Δ
t
{\displaystyle v\Delta t}
,由於正切這些球面次波的包络只能為平面,所以波前在時間
t
+
Δ
t
{\displaystyle t+\Delta t}
為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。
惠更斯的分析
如右圖所示,光波從介質1傳播進入介質2,其入射角、折射角分別為
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
、
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
,傳播速度分別為
v
1
{\displaystyle v_{1}}
、
v
2
{\displaystyle v_{2}}
,假設
v
1
>
v
2
{\displaystyle v_{1}>v_{2}}
。在時間
t
j
{\displaystyle t_{j}}
時,光波的波前會包含點
A
j
{\displaystyle A_{j}}
和點
B
j
{\displaystyle B_{j}}
的位置,標記這時的波前為
A
j
B
j
¯
{\displaystyle {\overline {A_{j}B_{j}}}}
。假設時間
t
j
{\displaystyle t_{j}}
與
t
j
+
1
{\displaystyle t_{j+1}}
之間的間隔為常數
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
,則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立:
A
0
A
1
=
B
0
B
1
=
B
1
B
2
=
B
2
B
3
=
v
1
Δ
t
{\displaystyle A_{0}A_{1}=B_{0}B_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=v_{1}\Delta t}
、
A
1
A
2
=
A
2
A
3
=
A
3
A
4
=
B
3
B
4
=
v
2
Δ
t
{\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=B_{3}B_{4}=v_{2}\Delta t}
。
從波前
A
1
B
1
¯
{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}}}
的每一個點波源發射出的球面次波,分別在介質1、介質2的傳播速度為
v
1
{\displaystyle v_{1}}
、
v
2
{\displaystyle v_{2}}
,
A
2
B
2
¯
{\displaystyle {\overline {A_{2}B_{2}}}}
必須正切這些球面次波。特別而言,在時間間隔
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
之後,波前
A
2
B
2
¯
{\displaystyle {\overline {A_{2}B_{2}}}}
在介質1的部分必須平行於相距
v
1
Δ
t
{\displaystyle v_{1}\Delta t}
的波前
A
1
B
1
¯
{\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}}}
,而波前
A
2
B
2
¯
{\displaystyle {\overline {A_{2}B_{2}}}}
在介質2的部分必須正切從點波源
A
1
{\displaystyle A_{1}}
發射出的半徑為
v
2
Δ
t
{\displaystyle v_{2}\Delta t}
的球面次波。所以,在通過界面時,會出現彎曲的波前
A
2
B
2
¯
{\displaystyle {\overline {A_{2}B_{2}}}}
。
由於光波傳播的方向垂直於波前,所以在介質1、介質2裏,波前與界面之間的夾角分別等於入射角
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
、折射角
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
。直線段長度
B
1
B
3
{\displaystyle B_{1}B_{3}}
與
A
1
A
3
{\displaystyle A_{1}A_{3}}
之間的關係為
B
1
B
3
/
sin
θ
1
=
A
1
B
3
=
A
1
A
3
/
sin
θ
2
{\displaystyle B_{1}B_{3}/\sin \theta _{1}=A_{1}B_{3}=A_{1}A_{3}/\sin \theta _{2}}
。
即
v
1
sin
θ
1
=
v
2
sin
θ
2
{\displaystyle {\frac {v_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{\sin \theta _{2}}}}
。
應用折射率
n
{\displaystyle n}
的定義式:
n
=
d
e
f
c
/
v
{\displaystyle n\ {\stackrel {def}{=}}\ c/v}
;
其中,
c
{\displaystyle c}
為光速 。
總結,斯涅尔定律成立:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}
;
其中,
n
1
{\displaystyle n_{1}}
、
n
2
{\displaystyle n_{2}}
分別為介質1、介質2的折射率
從平移對稱性推導
假設對某系統整體做一個平移 之後,這系統仍舊保持不變,則稱此系統具有平移對稱性 。從平移對稱性,可以推導出斯涅尔定律。[ 10] 這是建立於橫向均匀界面不能改變橫向動量 的道理。由於波向量
k
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
{\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}
與光子 的動量成正比,假設介質1、介質2的界面垂直於z-方向,則在介質1、介質2裏的光波橫向傳播方向必須保持不變:
k
x
1
=
k
x
2
{\displaystyle k_{x1}=k_{x2}}
、
k
y
1
=
k
y
2
{\displaystyle k_{y1}=k_{y2}}
。
因此,
k
1
sin
θ
1
=
k
2
sin
θ
2
{\displaystyle k_{1}\sin \theta _{1}=k_{2}\sin \theta _{2}}
。
應用折射率
n
{\displaystyle n}
的定義式:
n
=
d
e
f
c
v
=
c
k
ω
{\displaystyle n\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {c}{v}}={\frac {ck}{\omega }}}
;
其中,
ω
{\displaystyle \omega }
是光波的角頻率 。
總結,斯涅尔定律成立:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}
。
微觀至原子尺寸,雖然沒有任何界面是完全均勻的,假若精細至光波波長尺寸,傳播區域可以估視為均勻,則平移對稱性仍不失為優良近似。
從馬克士威方程組推導
幾何光學 的三條基礎定律為
第一定律:入射波、反射波、折射波的波向量,與界面的法線共同包含於「入射平面」。
第二定律:反射角等於入射角。這定律稱為「反射定律」。
第三定律:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}
。這定律稱為「斯涅尔定律」,又稱為「折射定律」。
光波是電磁輻射 ,必須滿足馬克士威方程組 與伴隨的邊界條件 ,其中一條邊界條件為,在邊界的臨近區域,電場平行於邊界的分量必須具有連續性 。假設邊界為xy-平面,則在邊界,
E
|
|
,
i
(
x
,
y
,
0
)
+
E
|
|
,
r
(
x
,
y
,
0
)
=
E
|
|
,
t
(
x
,
y
,
0
)
{\displaystyle E_{||,i}(x,y,0)+E_{||,r}(x,y,0)=E_{||,t}(x,y,0)}
;
其中,
E
|
|
,
i
{\displaystyle E_{||,i}}
、
E
|
|
,
r
{\displaystyle E_{||,r}}
、
E
|
|
,
t
{\displaystyle E_{||,t}}
分別為在入射波、反射波、折射波(透射波)的電場平行於邊界的分量。
折射與反射機制示意圖。
假設入射波是頻率為
ω
{\displaystyle \omega }
的單色平面波,則為了在任意時間滿足邊界條件,反射波、折射波的頻率必定為
ω
{\displaystyle \omega }
。設定
E
|
|
,
i
{\displaystyle E_{||,i}}
、
E
|
|
,
r
{\displaystyle E_{||,r}}
、
E
|
|
,
t
{\displaystyle E_{||,t}}
的形式為
E
|
|
,
i
=
E
|
|
,
i
0
e
i
k
i
⋅
r
−
ω
t
{\displaystyle E_{||,i}=E_{||,i0}\ e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} -\omega t}}
、
E
|
|
,
r
=
E
|
|
,
r
0
e
i
k
r
⋅
r
−
ω
t
{\displaystyle E_{||,r}=E_{||,r0}\ e^{i\mathbf {k} _{r}\cdot \mathbf {r} -\omega t}}
、
E
|
|
,
t
=
E
|
|
,
t
0
e
i
k
t
⋅
r
−
ω
t
{\displaystyle E_{||,t}=E_{||,t0}\ e^{i\mathbf {k} _{t}\cdot \mathbf {r} -\omega t}}
;
其中,
k
i
{\displaystyle \mathbf {k} _{i}}
、
k
r
{\displaystyle \mathbf {k} _{r}}
、
k
t
{\displaystyle \mathbf {k} _{t}}
分別是入射波、反射波、折射波的波向量,
E
|
|
,
i
0
{\displaystyle E_{||,i0}}
、
E
|
|
,
r
0
{\displaystyle E_{||,r0}}
、
E
|
|
,
t
0
{\displaystyle E_{||,t0}}
分別是入射波、反射波、折射波的波幅(可能是複值)。
為了在邊界任意位置
(
x
,
y
,
0
)
{\displaystyle (x,y,0)}
滿足邊界條件,相位 變化必須一樣,必須設定
k
i
x
x
+
k
i
y
y
=
k
r
x
x
+
k
r
y
y
=
k
t
x
x
+
k
t
y
y
{\displaystyle k_{ix}x+k_{iy}y=k_{rx}x+k_{ry}y=k_{tx}x+k_{ty}y}
。
因此,
k
i
x
=
k
r
x
=
k
t
x
{\displaystyle k_{ix}=k_{rx}=k_{tx}}
、
k
i
y
=
k
r
y
=
k
t
y
{\displaystyle k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}}
。
不失一般性,假設
k
i
y
=
k
r
y
=
k
t
y
=
0
{\displaystyle k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}=0}
,則立刻可以推斷第一定律成立,入射波、反射波、折射波的波向量,與界面的法線共同包含於入射平面。
從波向量x-分量的相等式,可以得到
k
i
sin
θ
i
=
k
r
sin
θ
r
{\displaystyle k_{i}\sin \theta _{i}=k_{r}\sin \theta _{r}}
。
而在同一介質裏,
k
i
=
k
r
{\displaystyle k_{i}=k_{r}}
。所以,第二定律成立,入射角
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
等於反射角
θ
r
{\displaystyle \theta _{r}}
。
應用折射率
n
{\displaystyle n}
的定義式:
n
=
d
e
f
c
v
=
c
k
ω
{\displaystyle n\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {c}{v}}={\frac {ck}{\omega }}}
,
可以推斷第三定律成立:
n
i
sin
θ
i
=
n
t
sin
θ
t
{\displaystyle n_{i}\sin \theta _{i}=n_{t}\sin \theta _{t}}
;
其中,
n
t
{\displaystyle n_{t}}
、
θ
t
{\displaystyle \theta _{t}}
分別是折射介質的折射率與折射角。
從入射波、反射波、折射波之間的相位 關係,就可以推導出幾何光學的三條基礎定律。[ 11]
全內反射與臨界角
假射光線從折射率較大的介質傳播進入折射率較小的介質,則入射角越大,光線的折射角也越大,直至當入射角大於臨界角時,由於折射角不能大於90°,這時會出現全內反射 。
「光密介質」是折射率 比較大的介質 ;「光疏介质」是折射率比较小的介质。假設光從折射率為
n
1
{\displaystyle n_{1}}
的光密介质傳播進入到折射率為
n
2
{\displaystyle n_{2}}
的光疏介质(例如,從玻璃傳播進入到空气中),而入射角
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
等於临界角
θ
c
{\displaystyle \theta _{c}}
,則折射光线会沿折射界面的切线进行,即折射角
θ
2
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{2}=\pi /2}
。此时会有
sin
θ
2
=
1
{\displaystyle \sin \theta _{2}=1}
。因此,可推得
sin
θ
c
=
sin
θ
1
=
n
2
/
n
1
{\displaystyle \sin \theta _{c}=\sin \theta _{1}=n_{2}/n_{1}}
。
假若入射角
θ
1
>
θ
c
{\displaystyle \theta _{1}>\theta _{c}}
,則無法找到對應的折射角
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
,不存在折射光,而只存在反射光,這現象稱為全内反射 。临界角
θ
c
{\displaystyle \theta _{c}}
是促使全内反射发生的最小入射角,它的值取决于两种介质的折射率的比值:
θ
c
=
sin
−
1
(
n
2
/
n
1
)
{\displaystyle \theta _{c}=\sin ^{-1}(n_{2}/n_{1})}
。
例如,水的折射率为1.33,空气的折射率近似等于1.00,临界角為
θ
c
=
sin
−
1
(
1.
/
1.33
)
=
0.851
{\displaystyle \theta _{c}=\sin ^{-1}(1./1.33)=0.851}
弧度,即48.8°(角度)。
耗損性、吸收性、導電性介質
在導電性介質裏,電容率 與折射率都是複值,連帶的,折射角與波向數都是複值。這意味著,等實相位曲面的法線與界面的法線之間的角度等於折射角,而等波幅曲面是與界面相互平行的平面。由於這兩個曲面通常不會重疊在一起,這種波被稱為「非均勻波」。[ 12] 折射波呈指數衰減,指數與折射率的虚数部分成正比。[ 8] [ 13]
各向異性物質
對於各向同性 或鏡面介質(例如玻璃),通常斯涅尔定律成立。對於各向異性 介質,例如,方解石 ,雙折射 會將折射線分為兩束射線,「尋常射線」與「非常射線」。尋常射線照樣遵守斯涅尔定律,而非常射線可能會與入射線不共面。
参阅
哈密頓光學 (Hamiltonian optics)
隱失波 (Evanescent wave)
參考文獻
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