八皇后问题
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八皇后问题的唯一对称解（不包括旋转和反射变换）
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解[1]。
历史
八皇后问题最早是由西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔（Max Bezzel）于1848年提出。第一个解在1850年由弗朗兹·诺克（Franz Nauck）给出。并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。
在此之后，陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法[2]，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。
1972年，艾兹格·迪杰斯特拉用这个问题为例来说明他所谓结构化编程的能力[3]。他对深度优先搜索回溯算法有着非常详尽的描述2。
八皇后问题在1990年代初期的著名电子游戏《第七访客》和NDS平台的著名电子游戏《雷顿教授与不可思议的小镇》中都有出现。
解题方法
八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368（64C8）种摆放方法，但只有92个可行（皇后間互不攻擊）的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解，具体如下：
独立解1
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独立解2
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独立解3
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独立解4
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独立解5
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独立解6
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独立解7
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独立解8
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独立解9
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独立解10
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独立解11
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独立解12
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解的个数
下表给出了n皇后问题的解的个数包括独立解U（OEIS數列A002562）以及可行解D（OEIS數列A000170）的个数：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | .. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| U | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 6 | 12 | 46 | 92 | 341 | 1,787 | 9,233 | 45,752 | .. |
| D | 1 | 0 | 0 | 2 | 10 | 4 | 40 | 92 | 352 | 724 | 2,680 | 14,200 | 73,712 | 365,596 | .. |
可以注意到六皇后问题的解的个数比五皇后问题的解的个数要少。现在还没有已知公式可以对n计算n皇后问题的解的个数。
示例程序
下面是求解n皇后的C代码，在程序中可以自己设置n个皇后以及选择是否打印出具体解。
#include <stdio.h>
#define QUEENS 8 /*皇后数量*/
#define IS_OUTPUT 1 /*(IS_OUTPUT=0 or 1)，Output用于选择是否输出具体解,为1输出，为0不输出*/
int A[QUEENS + 1], B[QUEENS * 3 + 1], C[QUEENS * 3 + 1], k[QUEENS + 1][QUEENS + 1];
int inc, *a = A, *b = B + QUEENS, *c = C;
void lay(int i) {
int j = 0, t, u;
while (++j <= QUEENS)
if (a[j] + b[j - i] + c[j + i] == 0) {
k[i][j] = a[j] = b[j - i] = c[j + i] = 1;
if (i < QUEENS) lay(i + 1);
else {
++inc;
if (IS_OUTPUT) {
for (printf("(%d)\n", inc), u = QUEENS + 1; --u; printf("\n"))
for (t = QUEENS + 1; --t; ) k[t][u] ? printf("Q ") : printf("+ ");
printf("\n\n\n");
}
}
a[j] = b[j - i] = c[j + i] = k[i][j] = 0;
}
}
int main(void) {
lay(1);
printf("%d皇后共计%d个解\n", QUEENS, inc);
return 0;
}
以下列出尼克劳斯·维尔特的Pascal语言程序[4]。此程序找出了八皇后问题的一个解。
program eightqueen1(output);
var i : integer; q : boolean;
a : array[ 1 .. 8] of boolean;
b : array[ 2 .. 16] of boolean;
c : array[ -7 .. 7] of boolean;
x : array[ 1 .. 8] of integer;
procedure try( i : integer; var q : boolean);
var j : integer;
begin
j := 0;
repeat
j := j + 1;
q := false;
if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
begin
x[ i ] := j;
a[ j ] := false;
b[ i + j] := false;
c[ i - j] := false;
if i < 8 then
begin
try( i + 1, q);
if not q then
begin
a[ j] := true;
b[ i + j] := true;
c[ i - j] := true;
end
end
else
q := true
end
until q or (j = 8);
end;
begin
for i := 1 to 8 do a[ i] := true;
for i := 2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to 7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.
使用回溯法进行求解八皇后问题
#include<stdio.h>
#define PRINTF_IN 1 //定义是否打印，1：打印，0：不打印
int queens(int Queens){
int i, k, flag, not_finish=1, count=0;
//正在处理的元素下标，表示前i-1个元素已符合要求，正在处理第i个元素
int a[Queens+1]; //八皇后问题的皇后所在的行列位置，从1幵始算起，所以加1
i=1;
a[1]=1; //为数组的第一个元素赋初值
printf("%d皇后的可能配置是:",Queens);
while(not_finish){ //not_finish=l:处理尚未结束
while(not_finish && i<=Queens){ //处理尚未结束且还没处理到第Queens个元素
for(flag=1,k=1; flag && k<i; k++) //判断是否有多个皇后在同一行
if(a[k]==a[i])
flag=0;
for (k=1; flag&&k<i; k++) //判断是否有多个皇后在同一对角线
if( (a[i]==a[k]-(k-i)) || (a[i]==a[k]+(k-i)) )
flag=0;
if(!flag){ //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素
if(a[i]==a[i-1]){ //若a[i]的值已经经过一圈追上a[i-1]的值
i--; //退回一步，重新试探处理前一个元素
if(i>1 && a[i]==Queens)
a[i]=1; //当a[i]为Queens时将a[i]的值置1
else
if(i==1 && a[i]==Queens)
not_finish=0; //当第一位的值达到Queens时结束
else
a[i]++; //将a[il的值取下一个值
}else if(a[i] == Queens)
a[i]=1;
else
a[i]++; //将a[i]的值取下一个值
}else if(++i<=Queens)
if(a[i-1] == Queens )
a[i]=1; //若前一个元素的值为Queens则a[i]=l
else
a[i] = a[i-1]+1; //否则元素的值为前一个元素的下一个值
}
if(not_finish){
++count;
if(PRINTF_IN){
printf((count-1)%3 ? " [%2d]:" : "\n[%2d]:", count);
for(k=1; k<=Queens; k++) //输出结果
printf(" %d", a[k]);
}
if(a[Queens-1]<Queens )
a[Queens-1]++; //修改倒数第二位的值
else
a[Queens-1]=1;
i=Queens -1; //开始寻找下一个满足条件的解
}
}
return count;
}
int main()
{
int Num ;
printf("输入一个N皇后数值：");
scanf("%d" , &Num);
printf("\n%d皇后有%d种配置\n",Num,queens(Num));
}
使用回溯法进行求解八皇后问题(Java版本)，可直接复制到 N-Queens - LeetCode （页面存档备份，存于互联网档案馆） 测试。
class Solution {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
List<List<String>> results = new ArrayList<>();
// 使用 char[][] 是为了展示结果时，直接使用 new String(char[])。
// 一般情况下，使用 boolean[][] 即可。
char[][] result = new char[n][n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
result[i][j] = '.';
}
}
backtrack(results, result, 0);
return results;
}
private static void backtrack(List<List<String>> results, char[][] result, int x) {
for (int j = 0; j < result.length; ++j) {
if (isValid(result, x, j)) {
result[x][j] = 'Q';
if (x == result.length - 1) {
showResult(results, result);
// 可以直接 break
} else {
// 皇后问题中，不会出现一行出现多个，所以直接跳到下一行
backtrack(results, result, x + 1);
}
result[x][j] = '.';
}
}
}
private static boolean isValid(char[][] result, int x, int y) {
// ... (0, y)
// ... ......
// ... (x-1, y)
// ... (x, y)
for (int i = 0; i < x; ++i) {
if (result[i][y] == 'Q') {
return false;
}
}
// ...
// ... (x-1, y-1)
// ... .......... (x, y)
for (int i = x - 1, j = y - 1; i >= 0 && j >= 0; --i, --j) {
if (result[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// ...
// ... ...... (x-1, y+1)
// ... (x, y)
for (int i = x - 1, j = y + 1; i >= 0 && j < result.length; --i, ++j) {
if (result[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
private static void showResult(List<List<String>> results, char[][] result) {
List<String> list = new ArrayList<>(result.length);
for (char[] value : result) {
list.add(new String(value));
}
results.add(list);
}
}
#include "iostream"
#include "cmath"
using namespace std;
#define Max 20 //定義棋盤的最大值
int a[Max];
int show(int S) //定義出函數
{
int i,p,q;
int b[Max][Max]={0}; //定義且初始化b[1][]輸出模組
for(i=1;i<=S;i++) //按橫列順序輸出a[i]的座標
{
b[i][a[i]]=1;
printf("(%d,%d)\t",i,a[i]);
}
printf("\n");
for(p=1;p<=S;p++) //按棋盤的橫列的順序標明的位置
{
for(q=1;q<=S;q++)
{
if(b[p][q]==1) //在第p行第q列放置一顆棋子
printf("x");
else
printf("o");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
int check(int k) //定義check函數
{
int i;
for(i=1;i<k;i++)
{
if((a[i]==a[k]) || (a[i]-a[k]==k-i)|| (a[i]-a[k]==i-k) ) //檢查是否有多顆棋子在同一個直行上
{
return 0;
}
}
return 1;
}
void check_m(int num) //定義函數
{
int k=1,count=0;
printf("N皇后問題的所有解(包含經由旋轉的解):\n");
a[k]=1;
while(k>0)
{
if(k<=num && a[k]<=num) //從第k行第一列的位置開始，尋找之後的棋子的位置
{
if(check(k)==0) //第k行的a[k]列不能放置棋子
{
a[k]++; //繼續試探該前行的下一列：a[k+1]
}
else
{
k++; //第K行的位置已經確定完畢，繼續尋找第k+1行棋子的位置
a[k]=1; //從第k+1的第一列開始查找
}
}
else
{
if(k>num) //若滿足輸出數組的要求就輸出該數組
{
count++;
printf("[%d]: ",count);
show(num); //調用輸出函數show()
}
k--; //棋子位置不符合要求則退回前一步
a[k]++; //繼續尋找下一列位置
}
}
printf("總共有 %d \n",count,"個");
}
int main(void)
{
int N,d;
do
{
printf(" N皇后問題的解(N<20) \n");
printf("請輸入N的值：_");
scanf("%d",&N);
printf("\n");
if(N>0&&N<20)
{
check_m(N);
break;
}
else
{
printf("輸入錯誤，請重新輸入");
printf("\n\n");
break;
}
}
while(1);
system("pause");
return 0;
}
大众文化
延伸阅读
- Bell, Jordan; Stevens, Brett. A survey of known results and research areas for n-queens. Discrete Mathematics. 2009, 309 (1): 1–31. doi:10.1016/j.disc.2007.12.043.
- Watkins, John J. Across the Board: The Mathematics of Chess Problems
. Princeton: Princeton University Press. 2004. ISBN 978-0-691-11503-0. - O.-J. Dahl, E. W. Dijkstra, C. A. R. Hoare Structured Programming, Academic Press, London, 1972 ISBN 0-12-200550-3 see pp. 72–82 for Dijkstra's solution of the 8 Queens problem.
- Allison, L.; Yee, C.N.; McGaughey, M. Three Dimensional NxN-Queens Problems. Department of Computer Science, Monash University, Australia. 1988 [2021-03-23]. （原始内容存档于2009-07-01）.
- Nudelman, S. The Modular N-Queens Problem in Higher Dimensions. Discrete Mathematics. 1995, 146 (1–3): 159–167. doi:10.1016/0012-365X(94)00161-5.
- Engelhardt, M. Der Stammbaum der Lösungen des Damenproblems (in German, means The pedigree chart of solutions to the 8-queens problem. Spektrum der Wissenschaft. August 2010: 68–71 [2022-02-19]. （原始内容存档于2013-01-28）.
- On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
- Wirth, Niklaus, Algorithms + Data Structures = Programs, Prentice-Hall Series in Automatic Computation (Prentice-Hall), 1976, Bibcode:1976adsp.book.....W, ISBN 978-0-13-022418-7
- Wirth, Niklaus. The Eight Queens Problem. Algorithms and Data Structures (PDF). Oberon version with corrections and authorized modifications. 2004: 114–118 [updated 2012] [2021-03-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-17）.
參考資料
- ^ Watkins, John J. (2004). Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11503-6
- ^ W. W. Rouse Ball (1960) The Eight Queens Problem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 165-171.
- ^ 奧利-約翰·達爾, 艾兹赫尔·戴克斯特拉, 東尼·霍爾 Structured Programming, Academic Press, London, 1972 ISBN 0-12-200550-3 see pp 72-82 for Dijkstra's solution of the 8 Queens problem.
- ^ Wirth, 1976, p. 145
- ^ DeMaria, Rusel. The 7th Guest: The Official Strategy Guide (PDF). Prima Games. 1993-11-15 [2021-04-22]. ISBN 978-1559584685. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-22）.