逆矩阵

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逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中，給定一个n 階方陣$\mathbf {A}$，若存在一n 階方陣$\mathbf {B}$，使得$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$，其中$\mathbf {I} _{n}$为n 階单位矩阵，則稱$\mathbf {A}$是可逆的，且$\mathbf {B}$是$\mathbf {A}$的逆矩陣，記作$\mathbf {A} ^{-1}$。

只有方陣（n×n 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方阵$\mathbf {A}$的逆矩阵存在，则称$\mathbf {A}$为非奇异方阵或可逆方阵。

與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵$A$可逆，则$A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}$其中$A^{*}=\mathrm {adj} (A)$是$A$的伴随矩阵，$|A|=\mathrm {det} (A)$是$A$的行列式。

注意：$A^{*}$中元素的排列特点是$A^{*}$的第$k$列元素是$A$的第$k$行元素的代数餘子式。要求得$A^{*}$即为求解$A$的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵$A$和$B$互逆，则$AB=BA=I$。由条件$AB=BA$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵$A$和$B$都是方阵。再由条件$AB=I$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为$0$。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是$n\times n$方阵，且$rank(A)=rank(B)=n$换而言之, ${\textstyle A}$与${\textstyle B}$均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵$A$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在$A$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对$A$和$I$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵$A$被变为$I$时，$I$就被变为$A$的逆阵$B$。

性质

1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$
3. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$（$A^{\mathrm {T} }$为A的转置）
5. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$（det为行列式）

广义逆阵

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广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E·H·摩爾和羅傑·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见

• 矩阵
• 广义逆阵
• 除法