最大流问题
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在优化理论中,最大流问题(英語:Maximum flow problem)涉及到在一个单源点、单汇点的网络流中找到一条最大的流。
最大流问题可以被看作是一个更复杂的网络流问题(循环问题,circulation problem)的特殊情况。s-t流(从源点s到汇点t)的最大值等于s-t割的最小容量,这被称为最大流最小割定理。
历史
最大流问题最早是在1954年由泰德·哈里斯和F·S·羅斯(F. S. Ross)通过一个苏联铁路的交通流量的简化模型提出的。[1][2][3] 1955年,小萊斯特·倫道夫·福特和德爾伯特·雷·富爾克森创建了第一个已知的算法,福特-富爾克森算法。[4][5]
多年来,最大流问题的各种改进算法被发现,例如傑克·埃德蒙茲、理查德·卡普和葉菲姆·迪尼茨的最短增广路算法;迪尼茨的阻塞流算法;安德魯·V·戈德堡和羅伯特·塔揚的Push-Relabel算法;戈德堡和Rao的binary阻塞流算法;Christiano、Kelner和亞歷山大·馬德瑞(Aleksander Madry)的电流算法;Spielman发现一个最大流近似最优解,但仅适用于无向图。[6][7]
定义
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设为一个网络,其中和分别是的源点和汇点()。
- 一个边的容量为映射,记为或。它表示可以通过一条边的流量的最大值。
- 一个流为一个映射,记为或,遵循下面两个限制:
- 对于每个,有(即容量限制:一个边的流量不能超过它的容量);
- 对于每个,有(即流的保留:流入一个节点的流的总和必须等于流出这个节点的流的总和,源点和汇点除外)。
- 流量定义为 ,其中为的源点,它表示从源点到汇点的流的数量。
- 最大流问题就是最大化,即从点到点尽可能规划最大的流量。
解法
算法 | 复杂度 | 描述 |
---|---|---|
线性规划 | ||
福特-富爾克森算法 | O(E max| f |) | |
埃德蒙兹-卡普算法 | O(VE2) | 福特-富爾克森算法的特例,使用广度优先搜索寻找增广路径. |
迪尼茨阻塞流算法 | O(V2E) | |
MPM (Malhotra, Pramodh-Kumar and Maheshwari)算法[8] | O(V3) | 只适用于无环图。参考 Original Paper. |
Dinic算法 | O(VE log(V)) | |
push-relabel maximum flow算法 | O(V2E) | |
Push-relabel算法,使用FIFO vertex selection rule | O(V3) | |
Push-relabel算法,使用 dynamic trees | ||
KRT (King, Rao, Tarjan)算法[9] | ||
Binary阻塞流算法[10] | ||
James B Orlin's + KRT (King, Rao, Tarjan)算法[11] | Orlin's algorithm (页面存档备份,存于互联网档案馆) solves max-flow in O(VE) time for while KRT solves it in O(VE) for . |
参考文献
- ^ Schrijver, A. On the history of the transportation and maximum flow problems. Mathematical Programming. 2002, 91 (3): 437–445. doi:10.1007/s101070100259.
- ^ Gass, Saul I.; Assad, Arjang A. Mathematical, algorithmic and professional developments of operations research from 1951 to 1956. An Annotated Timeline of Operations Research. International Series in Operations Research & Management Science 75. 2005: 79–110. ISBN 1-4020-8116-2. doi:10.1007/0-387-25837-X_5.
- ^ Harris, T. E.; Ross, F. S. Fundamentals of a Method for Evaluating Rail Net Capacities (PDF). Research Memorandum (Rand Corporation). 1955 [2017-03-07]. (原始内容存档 (PDF)于2017-02-17).
- ^ Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.
- ^ Ford, L.R., Jr.; Fulkerson, D.R., Flows in Networks, Princeton University Press (1962).
- ^ Kelner, J. A.; Lee, Y. T.; Orecchia, L.; Sidford, A. An Almost-Linear-Time Algorithm for Approximate Max Flow in Undirected Graphs, and its Multicommodity Generalizations. Proceedings of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (PDF). 2014: 217. ISBN 978-1-61197-338-9. arXiv:1304.2338
. doi:10.1137/1.9781611973402.16. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-03).
- ^ Knight, Helen. New algorithm can dramatically streamline solutions to the ‘max flow’ problem. MIT News. 7 January 2014 [8 January 2014]. (原始内容存档于2014-02-26).
- ^ Malhotra, V.M.; Kumar, M.Pramodh; Maheshwari, S.N. An algorithm for finding maximum flows in networks. Information Processing Letters. 1978, 7 (6): 277–278. doi:10.1016/0020-0190(78)90016-9.
- ^ King, V.; Rao, S.; Tarjan, R. A Faster Deterministic Maximum Flow Algorithm. Journal of Algorithms. 1994, 17 (3): 447–474. doi:10.1006/jagm.1994.1044.
- ^ Goldberg, A. V.; Rao, S. Beyond the flow decomposition barrier. ACM期刊. 1998, 45 (5): 783. doi:10.1145/290179.290181.
- ^ Orlin, James B. Max flows in O(nm) time, or better. STOC '13 Proceedings of the forty-fifth annual ACM symposium on Theory of computing. 2013: 765–774. doi:10.1145/2488608.2488705.
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