群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义

若 $\mathrm {G}$ 为一个群而 $\mathrm {X}$ 为一个集合，则 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数

\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}

(其中 $g\in \mathrm {G}$ 和 $x\in \mathrm {X}$ 的像写作 $g\cdot x$ )，满足如下两条公理：

$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ 对于所有 $g,h\in \mathrm {G}$ 和 $x\in \mathrm {X}$ 成立
$e\cdot x=x$ 对于每个 $x\in \mathrm {X}$ 成立 ( $e$ 代表 $\mathrm {G}$ 的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个 $g\in \mathrm {G}$ ，映射 $x\in \mathrm {X}$ 到 $g\cdot x$ 的函数是一个双射(單射以 $g^{-1}$ 應付，滿射以 $e$ 應付），从 $\mathrm {X}$ 映射到 $\mathrm {X}$ 。因此，也可以将 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上的群作用定义为从 $\mathrm {G}$ 到对称群 $S_{X}$ 的群同态。

若群作用 $\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}$ 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数 $\mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X}$ ，满足以下公理：

$x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
$x\cdot e=x$

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})

是一左作用，因为

l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,

而

l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群作用的种类

群G作用在集合X上的作用稱為:^[1]

遞移性(Transitive): 如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y $\in$ X，則存在一個g $\in$ G，使得 $g\cdot x=y$ ，我們就稱此作用為遞移性。
忠實性(Faithful): 如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。
自由性(Free): 如果給定 $g,h\in G$ ，存在 $x\in X$ ，則有著 $g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$ ，則稱為此作用為自由性。
正則的(Regular): 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。
n-遞移性(n-transitive): 如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。
本原的(Primitive): 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道

若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一個元素，且群 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上有著一個作用，那麼 $x$ 的軌道 $\mathrm {G} _{x}$ 就是指以下列方式定義的 $\mathrm {X}$ 的子集：

$\mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}$

$\mathrm {X}$ 的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道 $\mathrm {G} _{x}$ 和 $\mathrm {G} _{y}$ 有一個共通元素 $a$ ，那麼就可以找到兩個 $\mathrm {G}$ 中的元素 $m$ 和 $n$ ，使得 $a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ 、 $a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，同時有 $x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，反之亦可推出 $y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ ，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若 $\mathrm {H}$ 是 $\mathrm {G}$ 的一個子集，且定義 $\mathrm {G}$ 中元素的慣常運算規則為 $\mathrm {H}$ 在 $\mathrm {G}$ 上的一個作用，那麼 $\mathrm {H}$ 的陪集 $\mathrm {aH}$ ( $a\in \mathrm {G}$ )就是 $a$ 的軌道。

不變子集

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 $g\cdot x\in S$ ，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群

若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一個元素，對於群 $\mathrm {G}$ 中的所有元素 $g$ 而言，都有 $g\cdot x=x$ ，那麼就稱 $x$ 是 $\mathrm {G}$ -不變的（ $\mathrm {G}$ -invariant）。

另外若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一個元素，則所有使得 $g\cdot x=x$ 的 $\mathrm {G}$ 中的元素 $g$ 構成的集合又稱 $\mathrm {G}$ 對於 $x$ 的穩定子群（stabilizer subgroup of $\mathrm {G}$ with respect to $x$ ），一般常常將之記作 $\mathrm {Gx}$ (注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

$\mathrm {Gx}$ 是 $\mathrm {G}$ 的一個子群，因為根據定義 $e\cdot x=x\in \mathrm {Gx}$ ，因此 $\mathrm {G}$ 的單位元 $e$ 屬於 $\mathrm {Gx}$ ，且假若 $m\in \mathrm {Gx}$ ，那麼 $m$ 的逆元 $m^{-1}$ 也是 $\mathrm {Gx}$ 的元素，因為 $x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$ 。