一个二维晶体及其倒易点阵
倒易点阵(英語:reciprocal lattice),又称倒(易)晶格、倒(易)格子,是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性,倒晶格描述的是动量空间,亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性,布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格(正晶格)。
数学描述
一维晶格
对于以
为基矢的一维晶格,其倒格子的基矢为
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fefe2ecd36fb3a5994edbf2008b48ebfa76724)
二维晶格
对于以
为基矢的二维晶格,定义其二维平面法线向量为
,其倒格子的基矢为
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f200bd711e71e0f66a8d67ae868537f6a90175a4)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8765ffaa1dbef435bd54a2e1621b6f35e86bebb0)
三维晶格
對三維晶格而言,我們定義素晶胞的基矢
,可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911c0f428fec992a59131c782666caa745a88d0e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b07466b99a8f0db927c9c6ea752b3dc53b7489)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}}{{\boldsymbol {a_{3}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a339e87f23003bc55fc09e4486fc9f71c5d2bd5b)
倒晶格与正晶格的关系
倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{i}}}\cdot {\boldsymbol {b_{j}}}=2\pi \delta _{ij}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74ce1880277422e8760bf649d44491cf23bf45e)
定义三维中的倒晶格向量G
![{\displaystyle \mathbf {G} =h{\boldsymbol {b_{1}}}+k{\boldsymbol {b_{2}}}+l{\boldsymbol {b_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc767ca757985e7ef253de7ab1e8e875987b856)
其中(h,k,l)为密勒指数,向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系
![{\displaystyle \mathbf {|G_{hkl}|} ={\frac {2\pi }{d_{hkl}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d54ff534eb63abddfa8a0a5b57cbc1ea1e69b0e)
向量G和正晶格向量R有以下关系
![{\displaystyle \mathbf {R} =c_{1}{\boldsymbol {a_{1}}}+c_{2}{\boldsymbol {a_{2}}}+c_{3}{\boldsymbol {a_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e281c28a335b029e738798c7186a03188484d814)
![{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {G\cdot R} }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b67daa6279eb43968a28136296397c7d631b0f)
三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系
![{\displaystyle \Omega _{G}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015ff4f02d6f9cc56f5c64f623a5444841325ffc)
倒晶格的物理意义
在此以一维晶格为例。在一个以
为基矢的一维晶格中,其波函数应该为布洛赫波
![{\displaystyle \psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3594ba77a1905f40f1982941fd549e925e5d10)
定义其倒晶格向量
![{\displaystyle {\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc45cedf0bc6fde2e201902fe9683a0bab1f2332)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fefe2ecd36fb3a5994edbf2008b48ebfa76724)
![{\displaystyle {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859808698526dfb6720971afc3ea3eff1e101bad)
以及一个函数
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efdc8c6eebe8389967cae049956a996eff792b5)
由于
是一个布洛赫波包,满足
![{\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab625e98c13c6372106196a5df513e752dc74378)
所以
![{\displaystyle u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b73780cc2cad42b8680cdeb4a2c2386dd5489a)
也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi _{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771c8925838456ecc3b494d933d2e845d291998f)
可见,倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间(k空间)内的周期性。其向量单位,即倒晶格的基矢
是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位,即倒晶格的晶胞,称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关,在能带理论中也用来解释能带的周期性。
倒晶格与晶体衍射
晶体衍射满足布拉格定律
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d_{n}}}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378eef9893a0cafd5aaeeb2bc238e41005139e54)
定义入射波波矢为
,则上述公式可变换为
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\\mathbf {|G_{hkl}|} ={\cfrac {2\pi }{d_{hkl}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|\mathbf {G} |\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8b1f99a199824aa7c9b1850c9d6d1b1612226b)
因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格,而是倒晶格。
进一步将以上公式转化为向量形式,定义入射波波矢为
,反射波波矢为
,可以得到
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k_{o}}}-{\boldsymbol {k_{i}}}=\mathbf {G} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f9fc025de08e55413d0aef58be8832a82f28ff)
这个形式也和劳厄方程式相符。
晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中,为什么能量的分布是不連續的。
常见布拉菲晶格的倒晶格
簡單立方晶體
簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}=a{\hat {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21c94d3de06f7ed8032a9786797e69705b790e9)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}=a{\hat {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637a4e464b5b639fd86b2383c433e77025f4a4c7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}=a{\hat {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f878e721e09c84948761e6fb8a55dacec964fd5)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}=a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0c8b54552574b47d4c5fc44a2302ed63da4309)
可推得倒晶格的素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}{\hat {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d3e6f2f701739d1a2cf397817e4e4427a607a8)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}{\hat {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5bc38591e05938d1cd825cfce460ced33f6242)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}{\hat {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5443bc41e1010bc36bf78961f211c382257ead4)
所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體,但是晶格常數為
。
面心立方晶體(FCC)
面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ce6118146988a770ea1f40aaf2db2387832200)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ccfac4ef06f18fcb614ade96ac3cc3bf2fb5b1)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a0e4be73750bb5f257b904cbf3a7733a701fee)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052584e5a14a9e6e0c02fdc8dd0573e139b54f87)
可推得倒晶格之素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef680b919c4ee4b117f34755b3a9d8a86c8d75b)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0581ba839a2f3804372e7637c5d995fc85645a6e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545782e2f6fac9c27076833bfb56d4fbc3a9e0d9)
面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。
體心立方晶體(BCC)
體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b53f232647eb43a9f1a33ea3ffecafe97ccfd)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d7d38f06cac34140c7079f3904952ac8e6ba0c)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c03ecc01c0a317b810c764b5e5c523b53ffae6)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bdb58643215208a8e761d1b365290ced0ed34f)
可推得倒晶格之素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc6c77103f2e9435782547305b58f26e271dc39)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea1358a40b55dd06565e204bcc6d15536c924ad)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b37f84854faed875d609206f9a1ba661e0008)
可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。
在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的
(立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸
與其真實晶格之三軸有垂直的關係.
参阅
外部連結