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定向 (几何)

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改变定向与转动坐标轴的效果相同。

在三维空间里,直轴(直线)、直轴段、有向轴、有向轴段(向量)的定向是由它们与参考系的参考轴之夹角设定的。也可以用别的方法,例如方向余弦方法。

在三维空间里,一个平面的定向是垂直于此平面的一个向量的定向。

在三维空间里,刚体的定向涉及整个刚体的定位。假若一个刚体内中一点已被固定,刚体仍旧能够绕着固定点旋转。单独固定点的位置并不能完全地描述刚体的位置。一个刚体的位置有两个部分:平移位置角位置。平移位置可以用设定于刚体的一个参考点来表示。这参考点时常会是刚体的质心或刚体与地面的接触点。角位置,或定向,通常由刚体的体轴与空间坐标轴的夹角来设定;或者,定义固定于刚体的坐标轴为体坐标轴,由空间坐标轴转动至体坐标轴所需的转动角参数设定。在经典力学里,有几个工具可以用来描述三维空间的刚体转动。有些可以延伸至四维或多维空间。

欧拉角[编辑]

欧拉是最早试图用数学表达定向的科学家。他设想出三个有顺序的参考系,按照先后顺序,可以从前面的参考系绕着转动轴转动到后面的参考系。他发现,从任何一个参考系,经过三种特定的转动,可以转到三维空间内任何参考系。这三种特定转动的角度就是欧拉角

旋转向量[编辑]

欧拉意识到,两个连续的转动可以合成为一个绕着不同转动轴的转动。所以,前述的三个欧拉角转动等价于一个转动。那时,转动所环绕的转动轴,很不容易计算出来。一直到矩阵理论的发展,才有较容易的方法来计算转动轴。

根据这些理论,他新创了一个向量方法来描述任何转动;转动的转动轴与向量同线,向量的量值就是转动角度,称此向量为旋转向量。任何定向可以用一个相对于参考系的旋转向量来表示。

旋转矩阵[编辑]

随着矩阵理论的发表,欧拉旋转定理被重新改写。每一个转动都可以用正交矩阵来代表,又称为旋转矩阵方向余弦矩阵

欧拉向量是旋转矩阵的特征向量(一个旋转矩阵必定有唯一的,实值的特征值)。两个旋转矩阵的乘积等于对应的转动的合成。因此,定向可以用从参考系的一个转动所相应的旋转矩阵来表示。

在n-维空间里,一个非对称的物体的位形空间是SO(nRn。定向可以用此物体的切向量来代表。每一个向量所指的方向决定此物体的定向。

定向四元数[编辑]

定向四元数方法是另外一种描述转动的方法。等价于旋转矩阵方法,定向四元数除去了旋转矩阵里面的重复资料。所以,定向四元数方法比较简实与有效率。

导航角[编辑]

导航角的三个角是偏航角俯仰角,与滚动角。导航角又称为泰特-布莱恩角或卡丹角。在航空工程学里,这些角通常称为欧拉角,很容易造成与数学的欧拉角之间的混淆。

刚体定向[编辑]

在三维空间里,一个刚体的定向会因转动而改变。当转动时,除了包含于转动轴的点以外,刚体内部所有的点都会改变位置。

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