年金是指等额、定期的系列收支。[1]即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如,分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等,都属于年金收付形式。
分类
按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。
普通年金现值
普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。
考虑在
时刻分别发生数额为
的款项,总共发生
次的现金流(显然,这是年金)。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率
折现,这个年金的现值据此计算:[2]
![{\displaystyle \mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6787ddc65f0a45eeec9ebba02eca95d9630b3c54)
其中
稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金,比如,从第一年到第十年每年年底付款100元;其中,
是换算周期内对应的利率或当期收益率。[3]
若年金的支付永远进行下去,没有停止的那一天,这种年金被称为永久年金。[4]永久年金现值的计算即令上式中
,则
,
![{\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2bb441753cb50eec3bbfca3e13d08315d46f0f)
因此,前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了
年的永久年金的现值所得。
需要注意的是,这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立:
- 无需考虑通货膨胀,或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
- 将来的支付具有相当高的发生可能性,或者利率已将信用风险考虑在内。
要了解更多,请参见金钱的时间价值。
普通年金终值
在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时,有时需要计算年金终值。
根据终值计算公式:
![{\displaystyle FV_{A}=PV_{A}\times (1+i)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16606a799afc37ceab8f72edbed3f6b078b23db6)
其中:
为年金终值
为年金现值
为对应利率
为年金期数
按上文,已知普通年金现值计算公式,将其代入终值计算公式:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}FV_{A}&={\frac {C}{i}}\times [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\times (1+i)^{n}\\&={\frac {C}{i}}\times [(1+i)^{n}-1]\\&=C\times [{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61984dbe59bbaebf0d6280d4589b823646422e9)
已知
为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor),则上述公式可以简化为:
![{\displaystyle FV_{A}=C\times {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6604d34a0f6704f350c51e84b34c7c0d6620c5)
我们称
为[年金终值因子] (FV annuity factor)
最终简化版的年金终值公式为![{\displaystyle FV_{A}=C\times FV\,\ annuity\,\ factor}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bb0db604931b9b3179982308a65afe65884329)
普通年金终值的计算
假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币,年利率5%,那么到第四年年末,A定期储蓄的终值是多少?
首先计算终值因子: ![{\displaystyle Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^{4}=1.215506}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd5f0bc5f122294c1a338d200eb090da62bc707)
接下来计算年金终值因子: ![{\displaystyle FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6beea0112ee6c387e3f7f3e10d4ec20ddac1ddab)
最后计算年金终值: ![{\displaystyle FV_{A}=10000\times 4.310119=43101.19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f14e0d1a3cb132418ca787095bb668b95836ce7)
A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。
参见
参考文献