微分熵

微分熵是消息理論中的一個概念，是從以離散隨機變數所計算出的夏農熵推廣，以連續型隨機變數計算所得之熵，微分熵與離散隨機變數所計算出之夏農熵，皆可代表描述一信息所需碼長的下界，然而，微分熵與夏農熵仍存在著某些相異的性質。

定義

令$X$為一連續型隨機變數，其機率密度函數為$f_{X}(x)$，其中$X$的支撐集為$S=\{x\in X|f_{X}(x)>0}\$。微分熵$h_{X}(x)$:

$h_{X}(x)=-\int _{S}f_{X}(x)log(f_{X}(x))dx$。

與夏農熵為類比，計算夏農熵之算式中的$\log$通常以2為底，而微分熵為計算方便，常以$ln$計算後再轉換為$log_{2}$的結果。微分熵與夏農熵最大的不同點在於$f_{X}(x)$可為大於1的數值，此時可能會造成$h_{X}(x)$為負值，而夏農熵$H_{X}(x)$恆不為負。

例如，$X$為均勻分布$U(0,a),a<1$：

$f_{X}(x)=$$1 \over a$$;h_{X}(x)=-\int \limits _{0}^{a}$$1 \over a$$ln$$1 \over a$$dx$

$h_{X}(x)=ln(a)$$<0$

相關計算

條件熵

$f(x,y)$為$X,Y$之聯合機率密度函數，其條件熵為:

$h(X|Y)=-\int f(x,y)log{f(x|y)}dxdy$。

相對熵

又稱KL散度（Kullback–Leibler divergence)，兩機率密度函數f、g的相對熵定義為:

$D(f||g)=\int flog{f \over g}$。

互信息

兩連續型隨機變數的聯合機率密度函數為$f(x,y)$，其互信息:

$I(X;Y)=D(f(x,y)||f(x)f(y))$

廣義而言，我們可以將互信息定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。 可參考連續互信息的量化。

性質

相對熵恆正

與夏農相對熵性質相同，恆正。

$-{\displaystyle D(f||g)=\int flog{g \over f}}$

$\leq log\int f{g \over f}$ (延森不等式)

$\leq 0$。

鏈式法則

一次觀測所有隨機變數所測得的聯合熵，與個別接收隨機變數後計算的條件熵總和相同，即觀測順序與間隔不影響微分熵。

$h(X_{1},X_{2},...,X_{n})=\sum _{k=1}^{n}h(X_{i}|X_{1},X_{2},...,X_{i-1})$。

平移

隨機變數的平移不影響微分熵，因為固定的平移不會增加隨機變數的方差。

$h(X+c)=h(X)$

縮放

將隨機變數縮放會增加其方差，微分熵亦會隨之增加。

$h(AX)=h(X)+log|det(A)|$

上界

期望值為0，方差為$\sigma ^{2}$且值域為$R$之隨機變數$X$的微分熵，其上界為常態分佈$N(0,\sigma ^{2})$的微分熵。

$h(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})$

估計誤差

隨機變數$X$與其估計子${\widehat {X}}$之均方誤差存在下界，當$X$為常態分佈且${\widehat {X}}$為無偏估計子時，等號成立。

$E[(X-{\widehat {X}})^{2}]\geq {1 \over {2\pi e}}e^{2h(X)}$

漸進等分性

漸進等分性

離散隨機變數的夏農熵中，獨立同分布的隨機變數序列，在漸進等分性(Asymptotic equipartition property)之下其機率質量函數$p(X_{1},X_{2},...,X_{n})$趨近於$2^{-nH(X)}$。

連續型隨機變數之漸進等分性：

$-{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)$

典型集

典型集(Typical set)定義如下

$A_{\epsilon }^{(n)}=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in S^{n}:|-{1 \over n}logf(x_{1},x_{2},...,x_{n})-h(X)|\leq \epsilon }\$,$\epsilon >0$

體積

集合包含於$R^{n}$,$A\subset R^{n}$，其體積(Volume)$Vol(A)$定義如下:

$Vol(A)=\int \limits _{A}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$。

典型集$A_{\epsilon }^{(n)}$的體積有以下性質:

1.$Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\leq 2^{n(h(X)+\epsilon )}$

2.$Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\geq (1-\epsilon )2^{n(h(X)-\epsilon )}$

證明

1.

由$-{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)$，

可得：

$1=\int _{S^{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$\geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$\geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)+\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$=2^{-n(h(X)+\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$=2^{-n(h(X)+\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})$

2.

當n足夠大時，$Pr(A_{\epsilon }^{(n)})>1-\epsilon$，

因此：

$1-\epsilon \leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$\leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)-\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$=2^{-n(h(X)-\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

$=2^{-n(h(X)-\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})$

量化

我們可以將機率密度函數量化後，以夏農熵來計算微分熵。首先將連續隨機變數X以$\Delta$分為數個區間，根據均值定理，$x_{i}$滿足：

$f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}$

量化後的隨機變數$X^{\Delta }$:

$X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta$

夏農熵為:

$H(X^{\Delta })=-\sum _{-\infty }^{\infty }f(x_{i})\Delta log(f(x_{i}))-log\Delta$

意即，當$\Delta \rightarrow 0$，$h(f)=h(X)$。

例子：

1.

對X做n位元量化$X\sim U(0,{1 \over 8})$。

$H(X^{\Delta })=-3+n$

上式表示，若我們想得到n位元精確度，則需要n-3個位元來表示。

2.

對X做n位元量化$X\sim N(0,{\sigma }^{2})$。

$H(X^{\Delta })={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n$

上式表示，若我們想得到n位元精確度，需要${1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n$個位元來表示。

最大熵

常態分佈

隨機變數$X$，$X_{N}$值域為$(-\infty ,\infty )$，方差為$\sigma ^{2}$，$X$為任意分佈，$X_{N}$為常態分佈，機率密度函數分別為$f(x),g(x)$。

則$h_{X}(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})$

證明:

${\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(x)\end{aligned}}$

其中，

${\begin{aligned}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)log(g(x))dx&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)({1 \over 2}log(2\pi \sigma ^{2})+{1 \over 2}({{x-\mu } \over \sigma })^{2})dx\\&={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})\end{aligned}}$

指數分佈

隨機變數$X$，$Y$值域為$(0,\infty )$，期望值為$\lambda$，$X$為任意分佈，$Y$為指數分佈，機率密度函數分別為$f(x),g(x)$。

則$h_{X}(X)\leq 1+log\lambda$。

證明:

${\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(Y)\end{aligned}}$

其中，

${\begin{aligned}-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)log(g(x))dy&=-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)(log\lambda +{x \over \lambda })dx\\&=1+log\lambda \end{aligned}}$

參考文獻

• Thomas M. Cover, Joy A. Thomas, Elements of Information Theory, 1991 John Wiley & Sons, Inc, 1971. ISBN 0-471-20061-1