数列(英語:Number sequence)是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列,不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广,可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中,数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。
正式定義
由於最一般的數為複數,可以作如下的定義:[1]
在教學上常會如下標示有限數列,來增進對定義的直觀理解:
![{\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b19f60fc9511b7c4a396c07d618c392ea1b022f)
以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。
为数列的「第一项」、
为「第二项」,以此類推。
被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」,最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為
,換句話說,把
加入數列的定義域,並以第零項
作為首項。無窮數列只有首項,沒有末項,但類似的,也有人把
踢出無窮數列的定義域,讓無窮數列的首項為
。
由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」,換句話說
一般會將
寫為
,甚至更直觀的
來凸顯級數源於求和」的直觀概念。
級數的概念可以推廣至數列以外的序列,比如說函數序列的函数級數。
分類
單調性
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≥ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「递增数列」。把 ≥ 換成 > ,則稱為「嚴格遞增數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≤ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「递减数列」。把 ≤ 換成 < ,則稱為「嚴格遞减數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 = an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「常数数列」。
有限性
- 若數列
的项数有限,則 ⟨ak⟩ 为「有限数列」。
- 若數列
的项数无限,則 ⟨ak⟩ 为「无穷数列」。
有界性
- 若對所有 n ∈ Z+ ,M ≤ an ≤ N ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「有界数列」。 M 稱為「下界」, N 稱為「上界」。
- 若對數列 ⟨ak⟩ ,上述的 M 、 N 不存在,则称数列 ⟨ak⟩ 为「無界数列」。
收斂性與極限
收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值,就稱該數列為收斂數列,否則稱為發散數列。
簡單的說,一個數列
有極限,便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近
(稱為極限值),但是它們仍然任意得很靠近極限值
,而不一定恰好相等。
舉例來說:當
時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於0。當
時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於2。
此外,值得注意的是,當一個數列有極限值時,它的極限值一定是唯一的。一般來說,當數列收斂,我們會記
。
收斂的嚴格定義
我們說一個實數數列
收斂於實數
;如果對任意的
,存在一個正整數
,使得對所有的
,有
。
重要的特殊数列
- 等差数列:是一种特殊数列。数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
- 例如数列
。
- 这就是一个等差数列,因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等,都等于
;
与
的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差,符号为
,但是
可为0。
- 若設首項
,則等差數列的通項公式為
。
- 多阶等差数列:又称高阶等差数列,中國则称之为“质数相关数列”。
- 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,如果这个新的数列是普通等差数列,原数列就称为二阶等差数列。
- 由此类推,把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列,如此进行下去,直到最后的数列如果是普通等差数列,那么原数列就是多阶等差数列。
- 普通等差数列可以视为一阶等差数列,因而常数数列实际就是零阶等差数列。
- 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
- 例如数列
。
- 这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,
与
的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为
。
- 若設首項
,則等比數列的通項公式為
。
- 斐波那契数列:是一种特殊数列。它的特点是:首兩項均是1,从第3项起,每一项均為前兩項的和。
- 以數學符號表示,即
,且對於
,
。
- 斐波那契数列的通项公式為
。
- 質數數列:目前找不到規律的特殊數列,即:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………
- 正负相间:
或![{\displaystyle (-1)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8de2e87fd50322424ecee7bcb84f2349b6bfe76)
- 隔项有零:
或![{\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fc43f81844edf42a5ed3c4be158849984f70ea)
数列的求和
通常对第1项到第
项求和,记为
。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。
一个特殊数列求和:奇数数列。1,3,5,7,9,...。其和为项数
的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32。
通项公式的求解
通常,从实际问题中会先得到一个递推关系式,但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。
数学归纳法
求出该数列的前数项,归纳其通项公式,然后用数学归纳法证明公式正确。
数学归纳法是最基本的方法,但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律,则不能使用此方法。
逐差全加
给定数列差
时逐差全加,例如:
,
, 求![{\displaystyle a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31)
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f90a9d5443a4f7781c185952425fd62ddff781)
逐商全乘
给定数列比
时逐差全乘,例如:
,
,求![{\displaystyle a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31)
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dfb305eaa8f38cf2453de88f714be4bb2a1bf9)
从和式求通项
如果已知数列和的公式,那么通项的求解非常容易。由
可知
把
看成一个数列,可以先对
进行求解,然后得出
。
换元法
换元法用于从形式上简化表达式,以突出问题的本质。换元法一般不单独使用,而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法,还有用得很少的双曲函数换元法。
不动点法
对于形如齐次分式的递推关系,可利用不动点来推导。
已知
,其中
、
、
都是常数,求
。
求这类数列的通项公式,一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。
- 如果
,那么这个式子就可以化成下面的形式:
。
求出
,那么数列
就是一个等比数列,从而求出通项公式。
- 如果
,这个递推关系就不能化为等比数列。如果
,那么它就是等差数列。另外,当
的时候,它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到,等和数列也可以化成一个等比数列。
- 除此之外也可以这样将之化成等比数列:
![{\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42218906405cd9893df1a38c89ce6296ff573e0d)
![{\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1744c879bb746e73be06f0b0c9fd558a176404)
两边相减就有:
,如此就化成了一个等比数列。
已知
,其中
、
、
、
都为常数,求
;
与上述数列一样,它们一定可以化成下面的形式:
![{\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b143ad0f2a4c77fe7aba044255225fbf8c8d3d16)
求出对应系数,于是就转化成了前面那种形式,然后就可以求出数列
的通项公式,然后求出
的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。
其它方法
其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法,这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简,与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。
在其他數學領域的使用
拓樸
分析
線性代數
抽象代數
参见
参考资料