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氢原子

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氢-1
Hydrogen-1.png
总体特性
名称符号 [1], 1H
中子 0
质子 1
核素资料
丰度 99.985%
半衰期 稳定
同位素质量 1.007825 amu
自旋 ½+
盈余能 7288.969 ± 0.001 keV
结合能 0.000 ± 0.0000 keV

氢原子氢元素原子电中性的原子含有一个正价的质子与一个负价的电子,被库仑定律束缚于原子核内。在大自然中,氢原子是丰度最高的同位素,称为氢-1 ,或[1]。氢原子不含任何中子,别的氢同位素含有一个或多个中子。这条目主要描述氢-1 。

氢原子拥有一个质子和一个电子,是一个的简单的二体系统。系统内的作用力只跟二体之间的距离有关,是反平方有心力,不需要将这反平方有心力二体系统再加理想化,简单化。描述这系统的(非相对论性的)薛定谔方程解析解,也就是说,解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛定谔方程的波函数可以完全地描述电子的量子行为。因此可以这样说,在量子力学里,没有比氢原子问题更简单,更实用,而又有解析解的问题了。所推演出来的基本物理理论,又可以用简单的实验来核对。所以,氢原子问题是个很重要的问题。

另外,理论上薛定谔方程也可用于求解更复杂的原子与分子。但在大多数的案例中,皆无法获得解析解,而必须藉用电脑(计算机)来进行计算与模拟,或者做一些简化的假设,方能求得问题的解析解。

历史[编辑]

大多数氢原子的结构。
氢原子的半径大约为玻尔半径

1913 年,尼尔斯·玻耳在做了一些简化的假设后,计算出氢原子的光谱频率。这些假想,玻尔模型的基石,并不是完全的正确,但是可以得到正确的能量答案。

1925/26 年,埃尔文·薛定谔应用他发明的薛定谔方程,以严谨的量子力学分析,清楚地解释了玻尔答案正确的原因。氢原子的薛定谔方程的解答是一个解析解,也可以计算氢原子的能级光谱谱线频率。薛定谔方程的解答比玻尔模型更为精确,能够得到许多电子量子态的波函数(轨道),也能够解释化学键各向异性

薛定谔方程解答[编辑]

氢原子问题的薛定谔方程为[2]:131-145

其中,约化普朗克常数 是电子与原子核的约化质量 是量子态的波函数, 是能量,库仑位势

其中,真空电容率单位电荷量 是电子离原子核的距离。

采用球坐标 ,将拉普拉斯算子展开:

猜想这薛定谔方程的波函数解 是径向函数 球谐函数 的乘积:

角部分解答[编辑]

参数为天顶角和方位角的球谐函数,满足角部分方程[2]:160-170

其中,非负整数 轨角动量角量子数磁量子数 (满足 )是轨角动量对于 z-轴的(量子化的)投影。不同的 给予不同的轨角动量函数解答  :

其中,虚数单位伴随勒让德多项式,用方程定义为

勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:

径向部分解答[编辑]

径向函数满足一个一维薛定谔方程:[2]:145-157

方程左边的第二项可以视为离心力位势,其效应是将径向距离拉远一点。

除了量子数 以外,还有一个主量子数 。为了满足 的边界条件, 必须是正值整数,能量也离散为能级 。随着量子数的不同,函数 都会有对应的改变。按照惯例,规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样,径向函数可以表达为

其中, 近似于玻尔半径 。假若,原子核的质量是无限大的,则 ,并且,约化质量等于电子的质量,广义拉盖尔多项式,其定义式可在条目拉盖尔多项式里找到。

广义拉盖尔多项式另外还有一种在量子力学里常用的定义式(两种定义式不同):[2]:152

其中,拉盖尔多项式,可用罗德里格公式表示为

为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系,必须要求量子数

按照这种定义式,径向函数表达为

知道径向函数 与球谐函数 的形式,可以写出整个量子态的波函数,也就是薛定谔方程的整个解答:

量子数[编辑]

量子数 ,都是整数,容许下述值:[2]:165-166

角动量[编辑]

每一个原子轨道都有特定的角动量矢量 。它对应的算符是一个矢量算符 角动量算符的平方 的本征值是[2]:160-164

角动量矢量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向,则量子化公式为

因为 对易的 彼此是相容可观察量,这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,可以同时地测量到 的同样的本征值。

由于 互相不对易, 彼此是不相容可观察量,这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言, 的本征态与 的本征态不同。

给予一个量子系统,量子态为 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了另外一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合:

假若,测量可观察量 ,得到的测量值为其本征值 ,则量子态概率坍缩为本征态 。假若,立刻再测量可观察量 ,得到的答案必定是 ,在很短的时间内,量子态仍旧处于 。可是,假若改为立刻测量可观察量 ,则量子态不会停留于本征态 ,而会概率地坍缩为 本征值是 的本征态 。这是量子力学里,关于测量的一个很重要的特性。

根据不确定性原理

的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于

类似地, 之间, 之间,也有同样的特性。

自旋-轨道作用[编辑]

电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里,因为电子环绕着原子核移动,会感受到磁场。电子的自旋磁场产生作用 ,这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算,自旋与角动量不再是保守的,可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性,必须取代量子数 与自旋的投影 ,而以量子数 来计算总角动量。[2]:271-275

精细结构[编辑]

原子物理学里,因为一阶相对论性效应,与自旋-轨道耦合,而产生的原子谱线分裂,称为精细结构[2]:271-275

非相对论性、无自旋电子产生的谱线称为“粗略结构”。氢原子的粗略结构只跟主量子数 有关。可是,更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级的简并,使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构,精细结构是一个 效应;其中,精细结构常数

相对论量子力学里,狄拉克方程可以用来计算电子的波函数。用这方法,能级跟主量子数 、总量子数 有关[3][4],容许的能量为

电子轨道图[编辑]

电子的概率密度绘图。横向展示不同的角量子数 (l) ,竖向展示不同的能级 (n) 。

右图显示出能量最低的几个氢原子轨道(能量本征函数)。这些是概率密度的截面的绘图。图内各种颜色的亮度代表不同的概率密度(黑色:0 概率密度,白色:最高概率密度)。角量子数 () ,以通常的光谱学代码规则,标记在每一个纵排的最上端。 意指 意指 意指 。主量子数 标记在每一个横排的最右端。磁量子数 被设定为 0 。截面是 xz-平面( z-轴是纵轴)。将绘图绕着 z-轴旋转,则可得到三维空间的概率密度。

基态是最低能级的量子态,也是电子最常找到的量子态,标记为 态,

特别注意,在每一个轨道的图片内,黑线出现的次数。这些二维空间黑线,在三维空间里,是节面 (nodal plane) 。节面的数量等于 ,是径向节数( )与角节数( )的总和。

稳定性[编辑]

思考氢原子稳定性问题,应用经典电动力学来分析,则由于库仑力作用,束缚电子会被原子核吸引,呈螺线运动掉入原子核,同时辐射出无穷大能量,因此原子不具有稳定性。但是,在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么,为什么氢原子的束缚电子不会掉入原子核里?应用量子力学,可以计算出氢原子系统的基态能量大于某有限值,称这结果为满足“第一种稳定性条件”,即氢原子的基态能量 大于某有限值:[5]:10

量子力学的海森堡不确定性原理 可以用来启发性地说明这问题,电子越接近原子核,电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明,有些特别案例不能满足第一种稳定性条件,因为 量度的是波函数的半宽度,而不是波函数集聚于原子核附近的程度,所以波函数可以拥有一定的半宽度,并且极度集聚于原子核附近,造成库仑势能趋于 ,同时维持有限的动能。

更详细分析起见,只考虑类氢原子系统,给定原子的原子序 ,原子的能量 [注 1]

其中, 为动能, 为势能, 为描述类氢原子系统的波函数 为位置坐标, 为积分体积。

应用索博列夫不等式,经过一番运算,可以得到能量最大下界为。[6]

其中, 是能量单位里德伯,大约为13.6eV

总结,类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。

参阅[编辑]


相邻较轻同位素:
(没有, 最轻的)
氢原子是
同位素
相邻较重同位素:
氢-2
母同位素
自由中子
氦-2
氢原子的
衰变链
衰变产物
(稳定)


注释[编辑]

  1. ^ 为了方便运算,采用 、质量 、基本电荷 的单位制。

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 (注音:ㄆㄧㄝ;拼音:piē;客家话:piet5;粤语:pit8;英语:protium)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995. ISBN 978-0-13-111892-8. 
  3. ^ French, A.P. Introduction to Quantum Physics. W.W. Norton & Company. 1978: pp. 542. 
  4. ^ 狄拉克方程关于氢原子的解答 互联网档案馆存档,存档日期2008-02-18.
  5. ^ Lieb, Elliot. THE STABILITY OF MATTER:FROM ATOMS TO STARS (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1990, 22 (1). 
  6. ^ Lieb, Elliot. The stability of matter (PDF). Review of Modern Physics. 1976, 48: 553–569. 

外部链接[编辑]