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讨论:平方数

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除了100的倍数的平方,平方数有无可能末4位数以上连续相同?

如题。末3位数连续相同是有可能的,例如382=1444,那么除了平凡解以外,末4位数连续相同有无可能呢?末5位数连续相同呢?末6位数连续相同呢?

这等于问,平方数是否能以4444或44444或444444结尾。

25382=6441444这种是不算的,因为并没有连续。-游蛇脱壳/克劳 2016年9月5日 (一) 12:53 (UTC)[回复]

悉题,先从平方数的最后一位看起。

一个平方数的结尾除了0以外,有1(1,9),4(2,8),9(3,7),6(4,6),5(5)。

以1为结尾的平方数,十位必为偶数。

以9为结尾的平方数,十位必为偶数。

以5为结尾的平方数,十位必为2。

以6为结尾的平方数,十位必为奇数。

上方四种情况均不会出现大于4位最后数字相同的情况,即排除1111,9999,5555,6666以及更多连接的可能性。

以4为结尾的平方数,其构成x * 10000 + 4444的形式= 2^2 * (x * 2500 + 1111),若其为平方数,则x * 2500 + 1111也必须为平方数。

见上,因为11结尾的数字不是平方数,故以4为结尾的平方数不会出现4位以上连续的可能性。

至此,排除法完毕,仅余平凡解即0000。

以上。 Innocentius留言2016年9月5日 (一) 16:15 (UTC)[回复]

谢谢!已将结论新增至平方数。-游蛇脱壳/克劳 2016年9月6日 (二) 14:42 (UTC)[回复]
WP:OR?--Antigng留言2016年9月7日 (三) 02:11 (UTC)[回复]
事实是这样,不算原创研究,就好像13的平方是169,是计算的一种。-游蛇脱壳/克劳 2016年9月7日 (三) 07:38 (UTC)[回复]
说是这样说,还是找到了一个来源(见"重复的字尾/例题一/一个正整数的平方(即完全平方数)的字尾最多可以重复多少个不是0的数字?"段落),不过我还是觉得本讨论的证明比较好:浅显,且利用了条目已提过的性质(以1为结尾的平方数,十位必为偶数。以9为结尾的平方数,十位必为偶数。......)。-游蛇脱壳/克劳 2016年9月7日 (三) 08:20 (UTC)[回复]

平方数的"性质"条目修正叙述

编辑请求 2019-07-27

请求已拒绝-- 娜娜奇🐰鲜果茶☎️·☘️2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)[回复]

除了0跟1之外,4900是唯一的一个平方数,她刚好等于前几个平方数的和。改成除了0跟1之外,4900是唯一一个等于“从1开始的连续正整数平方和”之平方数。意即

已确认 ,但未确认4900是否符合叙述中的唯一性。--Hyman2930留言2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)[回复]

这等于求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非负整数解,用Excel算了一下,k≤7000时,(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三组解,我会再多试一点。-游蛇脱壳/克劳 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)[回复]
k≤12000时依然只有三解,但发现1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2,以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2,也算是一点小收获。-游蛇脱壳/克劳 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)[回复]
  • 四角锥数平方数
    列出丢番图方程有:
    对右式观察得知,当且仅当之倍数时方有整数解。
    特别地,对各个乘数进行关于的倍数之讨论。
    可知:
    • 为3之倍数时,有
    • 为3之倍数时,有
    • 为3之倍数时,有;(为3之倍数。
    故,无论如何中之一必定为3之倍数,且其他因数必须为平方数,
    • 因此对于满足条件有六种:
    但,当以3除时仅可能存在余数0或2,代入发生矛盾。
    同理前4个公式均如此。
    解第五个公式时,得到特殊解,并且只有奇数c满足,也就是说,存在有整数d和e满足或者然而,会使矛盾。故只能有,使得以及,对于该方程,是唯一解。当时会有排除。时则有。为证明该解的特殊,有得到解对 [1]。对于第六种相对复杂,需要非平凡解的证明,引入椭圆函数。首先将原方程变形解决该问题,可寻求已知一普遍问题两个椭圆方程。为求解,必须有其中r为非负数。雅可比椭圆函数,不做介绍。解出可以有当时,只有满足此时仅有

此为根据俄文内容翻译而成,准确性并不能完全保证,为做参照可以浏览ru:Задача о пушечных ядрах,获得准确内容,来自Watson之证明,作为内容补充亦有ma之证明此处尚未给出。--Rowe Wilson Frederisk Holme留言2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)[回复]

(:)回应:我不明白为什么要写“当且仅当n(n+1)(2n+1)为6之倍数时方有整数解”这句,莫非有“当n(n+1)(2n+1)不为6之倍数”的时候吗?我也看不出“n(n+1)(2n+1)恒为6之倍数”与解此不定方程有何关系。
证明“n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍数”是“当n为3之倍数.....”、“当(n+1)为3之倍数......”、“当(2n+1)为3的倍数......”这样证的吗?这算是穷举吗?在下认为这根本是先射箭再画靶。所以对于再以下的论证,我只好说“不予置评”。谢谢大家!-游蛇脱壳/克劳 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)[回复]
  • 嗯,没错,证明是先射箭再画靶,否则是解题行为而不是证明。另外,证明为3之倍数为其一条件,即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍数,也就是说要么n是3的倍数,要么(n+1),要么(2n+1),所以列出下面6个算式时,必定至少有其一为a=3*k*b^2的形式(其中k为1或2),而2n+1不可能为3的倍数同时亦为2的倍数(不可能为偶数),故2n+1之前只能为1或者3。综上,三个分式中必定会将2、3之因数分配给某一元,但是2不可能同时分配给2n+1,另外,为何需要6作为因数,应该很明显,k/6=m^2,且m为整数,则k/6必定为整数。k只能为6之倍数。另外确实该数必定为6之倍数,此处证明有3为因数是为表明该处6只能以3*2形式分配而已。其实这一步可以不写,但是为了直观写上而已。如果对该过程了解可不必纠缠。--Rowe Wilson Frederisk Holme留言2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)[回复]
@A2569875:可惜我英文很苦手,俄文完全不懂,椭圆函数更是只听过、没学过 囧rz……。但我不认为一定要提供有证明的可靠来源,才能把这句话写进去,只要可靠来源说(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧?en:Cannonball_problem#Solution的两条来源是可以用的。不然,可以像奇完全数或当初的费马最后定理一样,限定在某个范围内,(24,70)是唯一的非平凡解,例如k≤15000时,唯一的正整数非平凡解。-游蛇脱壳/克劳 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)[回复]
附带一提,Elementary proof一般是翻译为“初等证明”吧?“基本证明”有点怪.....-游蛇脱壳/克劳 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)[回复]
,差一点点,连Excel都误判这是一个整数。-游蛇脱壳/克劳 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)[回复]
  1. ^ Cohen, Henri. Number theory. New York: Springer. 2007. ISBN 9780387499222. OCLC 77795788.