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乌雷松引理

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拓扑学中,乌雷松引理,有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”,通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用,因为所有的度量空间豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明, 是一个正规拓扑空间,当且仅当只要 不交闭子集,就存在一个从 单位区间 的连续函数:

使得对于所有 ,都有 ,而对于所有 ,都有

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数

注意 以外的元素 并不需要使得 。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间,例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如,这个引理的一个推论是:正规的T1空间吉洪诺夫空间

证明

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数 ,我们构造 的一个开子集 ,使得:

  1. ,且对于所有的
  2. 对于 闭包位于 内。

有了这些集合以后,我们便定义 对于所有 。利用二进有理数是稠密的事实,便不难证明 是连续的,且具有性质

为了构造集合 ,我们还需要做更多事情:我们构造集合 ,使得:

  • 对于所有的 ,都有
  • 对于所有的 都是开集和不交的;
  • 对于 包含在 的补集之内,而 的补集包含在 之内。

由于 的补集是闭集,且含有 ,因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于 是正规的,我们便可以找出两个不交的开集 ,分别含有 。现在假设 ,且集合 对于 已经构造了。由于 是正规的,我们便可以找出两个不交的开集,分别含有 的补集和 的补集。称这两个开集为 ,并验证以上的三个条件成立。

参考文献