圖 (數據結構)
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在計算機科學中,圖(英語:graph)是一種抽象數據類型,用於實現數學中圖論的無向圖和有向圖的概念。
圖的數據結構包含一個有限(可能是可變的)的集合作為節點集合,以及一個無序對(對應無向圖)或有序對(對應有向圖)的集合作為邊(有向圖中也稱作弧)的集合。節點可以是圖結構的一部分,也可以是用整數下標或引用表示的外部實體。
圖的數據結構還可能包含和每條邊相關聯的數值(edge value),例如一個標號或一個數值(即權重,weight;表示花費、容量、長度等)。
操作
圖數據結構G支持的基本操作通常包括:[1]
adjacent
(G, x, y):查看是否存在從節點x到y的邊;neighbors
(G, x):列出所有從x出發的邊的另一個頂點y;add_vertex
(G, x):如果不存在,將節點x添加進圖;remove_vertex
(G, x):如果存在,從圖中移除節點x;add_edge
(G, x, y):如果不存在,添加一條從節點x到y的邊;remove_edge
(G, x, y):如果存在,從圖中移除從節點x到y的邊;get_vertex_value
(G, x):返回節點x上的值;set_vertex_value
(G, x, v):將節點x上的值賦為v。
如果該數據結構支持和邊關聯的數值,則通常也支持下列操作[1]:
get_edge_value
(G, x, y):返回邊(x, y)上的值;set_edge_value
(G, x, y, v):將邊(x, y)上的值賦為v。
圖的常見數據結構
- 鄰接表[2][3]
- 節點存儲為記錄或對象,且為每個節點創建一個列表。這些列表可以按節點存儲其餘的信息;例如,若每條邊也是一個對象,則將邊存儲到邊起點的列表上,並將邊的終點存儲在邊這個的對象本身。
- 鄰接矩陣[4][5]
- 一個二維矩陣,其中行與列分別表示邊的起點和終點。頂點上的值存儲在外部。矩陣中可以存儲邊的值。
- 關聯矩陣[6]
- 一個二維矩陣,行表示頂點,列表示邊。矩陣中的數值用於標識頂點和邊的關係(是起點、是終點、不在這條邊上等)。
下表給出了在圖上進行各種操作的複雜度。其中,用|V|表示節點數量,|E|表示邊的數量。同時假設存儲的信息是邊上對應的值,如果沒有對應值則存儲∞。
鄰接表 | 鄰接矩陣 | 關聯矩陣 | |
---|---|---|---|
空間複雜度 [7] | |||
存儲一張圖 | |||
時間複雜度 [8] | |||
添加節點 | |||
添加邊 | |||
移除節點 | |||
移除邊 | |||
檢查節點x和y是否鄰接(假設已知兩個節點對應的存儲位置) | |||
注釋 | 移除節點或邊速度較慢,因為需要找到相連的邊或節點 | 增減節點速度較慢,因為需要修改矩陣的大小 | 增減節點或邊速度較慢,因為需要修改矩陣的大小 |
鄰接表在稀疏圖上比較有效率。鄰接矩陣則常在圖比較稠密的時候使用,判斷標準一般為邊的數量|E |接近於節點的數量的平方|V |2;鄰接矩陣也在查找兩節點鄰接情況較為頻繁時使用。[9][10]
其它表示和存儲圖的數據結構還包括鏈式前向星、十字鍊表、鄰接多重表等。
並行計算
圖問題的並行計算主要存在如下幾種困難:處理大量的數據、求解非常規的問題、數據不分散、數據存取對計算的比例很高等。[11][12]面對這些困難,並行計算中圖的表示和存儲方式很重要。如果選取了不合適的表示方式,可能帶來不必要的通訊花費,進而影響算法的可擴展性。在本節中,並行計算的共享和分布式存儲模型都在考慮之列。
共享存儲
在共享存儲模型下,圖的表示和非並行計算中的場景是相同的,[13],因為在此模型下,對圖表示(如鄰接表)的並行讀取操作效率已經足夠高了。
分布式存儲
在分布式存儲模型下,通常會採用劃分點集為個集合的方式,其中是並行處理器的數量。隨後,這些點集劃分及相連的邊按照標號分配給每個並行處理器。每個處理器存儲原圖的一個子圖,而那些兩個頂點分屬兩個子圖的邊則需額外特殊處理。在分布式圖算法中,處理這樣的邊往往意味着處理器之間的通訊。[13]
圖的劃分需要謹慎地在降低通訊複雜度和使劃分均勻之間取捨。[14]但圖劃分本身就是NP難問題。因此,實踐中會使用啟發式方法。
圖的壓縮存儲
機器學習、社會網絡分析等領域中,有時會處理數萬億條邊的圖。圖的壓縮存儲可以減少存取和內存壓力。霍夫曼編碼等一些數據壓縮的常見方法是可行的。同時,鄰接表、鄰接矩陣等也有專門的壓縮存儲方法以提高效率。[15]
參見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 參見Goodrich & Tamassia (2015), Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360。更多細節也可參見Mehlhorn, K.; Näher, S., Chapter 6: Graphs and their data structures, LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing, Cambridge University Press: 240–282, 1999.
- ^ Cormen et al. 2001,第528–529頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015,第361-362頁.
- ^ Cormen et al. 2001,第529–530頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015,第363頁.
- ^ Cormen et al. 2001,Exercise 22.1-7, p. 531.
- ^ Cormen et al. 2001,第589-591頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015,§13.1.3.
- ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Section 22.1: Representations of graphs, Introduction to Algorithms Second, MIT Press and McGraw-Hill: 527–531, 2001, ISBN 0-262-03293-7.
- ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, Section 13.1: Graph terminology and representations, Algorithm Design and Applications, Wiley: 355–364, 2015.
- ^ Bader, David; Meyerhenke, Henning; Sanders, Peter; Wagner, Dorothea. Graph Partitioning and Graph Clustering. Contemporary Mathematics 588. American Mathematical Society. January 2013. ISBN 978-0-8218-9038-7. doi:10.1090/conm/588/11709 (英語).
- ^ LUMSDAINE, ANDREW; GREGOR, DOUGLAS; HENDRICKSON, BRUCE; BERRY, JONATHAN. Challenges in Parallel Graph Processing. Parallel Processing Letters. March 2007, 17 (1): 5–20. ISSN 0129-6264. doi:10.1142/s0129626407002843.
- ^ 13.0 13.1 Sanders, Peter; Mehlhorn, Kurt; Dietzfelbinger, Martin; Dementiev, Roman. Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox. Springer International Publishing. 2019 [2021-08-14]. ISBN 978-3-030-25208-3. (原始內容存檔於2021-08-17) (英語).
- ^ Parallel Processing of Graphs (PDF). [2021-08-14]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-08-25).
- ^ Besta, Maciej; Hoefler, Torsten. Survey and Taxonomy of Lossless Graph Compression and Space-Efficient Graph Representations. 27 April 2019. arXiv:1806.01799
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外部連結
- Boost Graph Library (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),一個C++的圖程序庫,例如Boost_C++_Libraries。
- Networkx (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),一個Python圖程序庫。
- GraphBLAS (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),一個圖操作的應用程序接口說明。特別關注了稀疏圖。
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