普通最小平方法

在回歸分析當中，最常用的估計$\beta$（回歸係數）的方法是普通最小二乘法（英語：ordinary least squares，簡稱OLS），它基於誤差值之上。用這種方法估計$\beta$，首先要計算殘差平方和（residual sum of squares；RSS），RSS是指將所有誤差值的平方加起來得出的數：

$RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\,$

$\beta _{0}$與$\beta _{1}$的數值可以用以下算式計算出來：

${\widehat {\beta }}_{1}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

${\widehat {\beta }}_{0}={\bar {y}}-{\widehat {\beta }}_{1}{\bar {x}}$

當中${\bar {x}}$為$x$的平均值，而${\bar {y}}$為$y$的平均值。

假設總體的誤差值有一個固定的變異數，這個變異數可以用以下算式估計：

${\hat {\sigma }}_{\varepsilon }^{2}={\frac {RSS}{n-2}}.\,$

這個數就是均方誤差（mean square error），這個分母是樣本大小減去模型要估計的參數的量。這個回歸模型當中有兩個未知的參數（$\beta _{0}$與$\beta _{1}$）。

而這些參數估計的標準誤差（standard error）為：

${\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

${\hat {\sigma }}_{\beta _{0}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}={\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}{\sqrt {\frac {\sum x_{i}^{2}}{n}}}$

有了上面這個模型，研究者手上就有會有$\beta _{0}$與$\beta _{1}$的估計值，就可以用這個算式來預測$Y$的數值。

參見

• 最小均方誤差
• 非線性最小二乘法