泛函

泛函（functional）指以函數構成的向量空間為定義域，實數為值域為的「函數」，即某一個依賴於其它一個或者幾個函數確定其值的量，往往被稱為「函數的函數」。在泛函分析中，泛函也用來指一個從任意向量空間到標量域的映射。泛函中的一類特例線性泛函引發了對對偶空間的研究。泛函的應用可以追溯到變分法，其中通常需要尋找一個函數用來最小化某個特定泛函。在物理學上，尋找某個能量泛函的最小系統狀態是泛函的一個重要應用。

設 $S\$ 是由一些函數構成的集合。所謂 $S\$ 上的泛函就是 $S\$ 上的一個實值函數。 $S\$ 稱為該泛函的容許函數集。

函數的變換某種程度上是更一般的概念，參見算子。

例子

設在 xOy 平面上有一簇曲線 $y(x)$ , 其長度為 $L=\int _{C}ds=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx$ 。

顯然， $y(x)$ 不同, $L$ 也不同，即 $L$ 的數值依賴於整個函數 $y(x)$ 而改變。 $L$ 和函數 $y(x)$ 之間的這種依賴關係就稱為泛函關係。

性質

對偶性

觀察映射

x_{0}\mapsto f(x_{0})

是一個函數，在這裡， $x_{0}$ 是函數f的自變量。

同時，將函數映射至一個點的函數值

f\mapsto f(x_{0})

是一個泛函，在此 $x_{0}$ 是一個參數

只要 $f$ 是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

參見

參考資料

Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556