胡列維茨定理

  提示：此條目頁的主題不是胡爾維茨定理。

在數學中，胡列維茨定理是代數拓撲的一個基本結論。定理通過「胡列維茨同態」將同倫論與同調論聯繫起來，是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨命名。

定理陳述

胡列維茨定理是連接同倫群和同調群的關鍵一環。

絕對版本

對於任意空間 $X$ 和任意正整數 $k$，都存在群同態（構造見本小節末尾）

$h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!$

稱為從 $k$ 階同倫群到 $k$ 階（整係數）同調群的胡列維茨同態。當 $k=1$ 且 $X$ 道路連通時，胡列維茨同態等價於標準的阿貝爾化映射

$h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!$

胡列維茨定理聲明，若 $X$ 是(n -1)-連通空間，那麼對於所有 $k\leq n$，胡列維茨同態都是群同構（當 $n\geq 2$）或阿貝爾化（當 $n=1$）。特別地，定理說明第一同倫群（即基本群）的阿貝爾化同構於第一同調群：

$H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!$

因此，如果 $X$ 道路連通且 $\pi _{1}(X)$ 是完美群，那麼 $X$ 的第一同調群為零。

此外，當 $X$ 是(n -1)-連通時（$n\geq 2$），胡列維茨同態 $\pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 都是滿同態（滿射）。

胡列維茨同態由如下方式給定：設 $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ 為標準生成元，那麼胡列維茨映射將同倫類 $f\in \pi _{n}(X)$ 映射到 $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$。

單純集合版本

拓撲空間的胡列維茨定理對於n-連通、滿足闞條件的單純集合也有對應陳述。

有理胡列維茨定理

設 $X$ 為單連通拓撲空間，並對於所有 $i\leq r$ 滿足 $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$。那麼胡列維茨映射

$h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )$

對於 $1\leq i\leq 2r$ 為同構，且對於 $i=2r+1$ 是滿射。

參考資料

• Brown, R., Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Contemporary Mathematics, 1989, 96: 39–57, ISSN 0040-9383, doi:10.1090/conm/096/1022673 
• Brown, Ronald; Higgins, P. J., Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 1981, 22: 11–41, ISSN 0022-4049, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3 
• Brown, R.; Loday, J.-L., Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 1987, 54: 176–192, ISSN 0024-6115, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176 
• Brown, R.; Loday, J.-L., Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 1987, 26 (3): 311–334, ISSN 0040-9383, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8 
• Rotman, Joseph J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, Springer-Verlag, 19881998-07-22, ISBN 978-0-387-96678-6 
• Whitehead, George W., Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978, ISBN 978-0-387-90336-1