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1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + …

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數學中,「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」這個無窮級數絕對收斂交錯級數中的一個較為簡單的例子。

因為「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」是一個首項為1/2、公比為−1/2的幾何級數,所以將它求和有:

哈肯布什遊戲及超現實數

示例:通過一個零和博弈(zero-value game)得到2/3

對該級數進行簡單的移項後有:

上一步得到的級數由一個正整數加上一組或1/2的冪組成,所以它可以被轉化為代表超現實數1/3的無限的藍-紅Hackenbush串(blue-red Hackenbush string):

LRRLRLR… = 1/3.[1]

簡化後的Hackenbush串消去了重複的「R」:

LRLRLRL… = 2/3.[2]

哈肯布什英語Hackenbush里的情況而言,這個等式意味着畫在右側的小塊的值為0;則後移動小塊的玩家可以有制勝的戰略。

相關級數

注釋

  1. ^ Berkelamp等 al. p.79
  2. ^ Berkelamp等 al. pp.307~308
  3. ^ Shawyer及Watson p.3
  4. ^ 參見Korevaar p.325

參考