在數學上,可數集,或稱可列集,是與自然數集的某個子集具有相同基數(等勢)的集合。在這個意義下,可數集由有限可數集和無限可數集組成。不是可數集的無窮集稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素,正如其名,是「可以計數」的:儘管計數有可能永遠無法終止,集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。
「可數集」這個術語有時也指代可數無窮集,即僅代表能和自然數集本身一一對應的集合[1]。兩個定義的差別在於有限集合在前者中算作可數集,而在後者中不算作可數集。
為了避免歧義,前一種意義上的可數有時稱為至多可數[2],後一種可數集則稱為無限可數集[3]。
定義
如果從
到自然數集合
存在單射函數,則
稱為可數集。[4]
如果
還是滿射,則同樣是雙射,則稱
是無限可數集。
換句話說,一個集合要想是無限可數集,它要和自然數集
有一一對應關係。
如上所述,這個術語不普遍:一些作者在這裏使用可數來表示被稱為「無限可數」,並沒有包括有限集。
介紹
由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的,因為我們可以將所有的
都對應到
,如此就完成了一一對應。類似地,不難證明所有整數構成的集合
、所有有理數構成的集合
、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。
並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合
是不可列的,即
與
之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數,因為剛才已經說過代數數是可列的;於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。
正規定義和性質
由定義,如果存在從
到自然數集合
存在單射函數
,則
稱為可數集。
這似乎自然地把集合劃分為不同類別:把所有包含一個元素的集合放在一起;包含兩個元素的集合在一起......最後,把所有無限集合放在一起,並認為它們具有相同的大小。然而,在大小的自然定義下,這種觀點是不確切的。
為了闡述這一點,我們需要一個雙射的概念。雖然雙射看起來比數更加高深,但原本數學發展中集論定義函數要先於數字。因為它們都是基於更簡單的集合。這就引出了雙射的概念:
![{\displaystyle a\leftrightarrow 1,b\leftrightarrow 2,c\leftrightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55a56d6a807afdb9f768ff960119ff9275ae95d)
由於
的每個元素都可以和
中準確的一個配對,並且反過來也同樣,這就定義了一個雙射。
我們將這個情境一般化,定義若且唯若它們之間存在雙射,兩個集合的大小相同。對於有限集,這裏給出了「大小相同」的常用定義。那麼對於無限集呢?
考慮集合
(正整數集),和
(正偶數集)。我們說,在我們的定義下,這些集合有相同的大小,並且因此B是無限可數集。我們需要證明它們之間存在雙射。但這是很簡單的,運用
,那麼
![{\displaystyle 1\leftrightarrow 2,2\leftrightarrow 4,3\leftrightarrow 6,4\leftrightarrow 8,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f17ec53341fdfd75d8b4e59f0c0885c05042bb)
正如前面的例子,
的每個元素都已和
中準確的一個配對,並且反過來也同樣。因而它們大小相同。這給出了一個集合與其一個合適的子集大小相同的例子,這種情形在有限集中是不可能的。
同樣,自然數的有序對的集合,也就是自然數集合的笛卡爾積
,是無限可數集,可以沿着圖中的一種路徑:
康拖爾配對函數給每一對自然數分配了一個自然數配對結果就像這樣:
![{\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715d215f6092895bbc3a907d3440351f6ac5bd29)
顯然這個映射可以覆蓋所有這些有序對。另一個證明方法是可以定義一個從自然數集合的笛卡爾積
到自然數集合
的單射函數
。
利用數學歸納法,可知在n是個有限的自然數時,自然數集合的n-元笛卡爾積
是可數的。利用自然數集的笛卡爾積是可數的這點,可以證明整數集和有理數集是可數集,這是因為整數可以視為自然數的有序對(可將正整數
給視為
,將負整數
給視為
),而以最簡分數形式表示的有理數
也可視為整數的有序對
所致。
另外,可數無限多個可數集的聯集是可數的,這是因為可以定義一個單射函數,將可數無限多個可數集的聯集給映至自然數集合的笛卡爾積
之故。
不過可數無限多個自然數集合的笛卡爾積不是可數的,這可以透過康托的對角論證法證明。
參見
註解
- ^ 例子參見(Rudin 1976,Chapter 2)
- ^ 參見(Lang 1993,§2 of Chapter I).
- ^ 參見(Apostol 1969,Chapter 13.19).
- ^ 因為顯然N和N* = {1, 2, 3, ...}之間顯然存在雙射,無所謂是否把0算作自然數。在任何情況,這篇文章都遵循ISO 31-11和數學邏輯中的標準傳統,將0作為自然數。
參考資料
- Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
- Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X
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