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齊性空間

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數學上,特別是李群代數群拓撲群的理論中,G齊性空間homogeneous space)是指一個非空流形拓撲空間XG傳遞地作用在X上,G中的元素稱之為X的對稱。一個特例是空間X自同構群,這裏自同構群可以是等距同構群微分同胚群或是同胚群。在這些例子中,如果在直觀上將X的任意局部視作相同,則X是齊性的。像是等距同構(剛體幾何)、微分同胚(微分幾何)或是同胚(拓撲)。一些作者要求G的作用是有效的(或忠實),不過本文並不要求這樣。從而X上存在可以想像為保持X上相同「幾何結構」的一個群作用,使X成為一個單G-軌道

正式定義

X是一個非空集合,G是一個群。如果存在GX上一個作用,則X稱為一個G-空間[1]。注意G通過自同構自動作用在這個集合上。如果X還額外屬於某一個範疇,則要求G中元素的作用是這個範疇中的自同構。從而由GX上產生的映射保持結構。一個齊性空間是一個G作用傳遞的G空間。

簡明地說,如果X是範疇C中一個對象,則一個G-空間結構是G到範疇C中對象X的自同構群一個同態

若ρ(G)是承載集合X的一個傳遞的、對稱群,則二元組 (X,ρ)定義了一個齊性空間。

例子

例如,若X是一個拓撲空間,則要求群元素在X上的作用是自同胚G-空間的結構是到X自同胚群的一個群同態ρ : G → Homeo(X)。

類似地,如果X是一個微分流形,則群元素是微分同胚G-空間結構是到X微分同胚群的一個群同態ρ : G → Diffeo(X)。

幾何

埃爾朗根綱領的觀點,可以理解在X幾何中「所有點是一樣的」。十九世紀中葉黎曼幾何提出之前的所有幾何本質上都是如此。

例如歐幾里得空間仿射空間射影空間都自然是相應對稱群的齊性空間。這對常曲率非歐幾里得幾何模型,比如雙曲空間,同樣成立。

一個深一點的經典例子是三維射影空間裏線組成的空間(等價於,四維向量空間中的二維子空間)。用簡單的線性代數可以證明GL4傳遞作用在這個空間上。我們可用「線坐標」將其參數化:存在2×4矩陣的2×2 子式使得其列向量是子空間的兩個基向量。所得空間的幾何是尤里烏斯·普呂克英語Julius Plücker線幾何

作為陪集的齊性空間

一般地,如果X是一個齊性空間,而HoX中某一給定點o穩定子(選取一個原點),X中的點對應於左陪集G/Ho

選取不同的原點o一般將得到G商去一個不同子群Ho′,它與Ho相差一個G內自同構。準確地,

    (1)

這裏gG中任何元素使得go = o′。注意內自同構 (1)與g的選取無關,只取決與g模去Ho

如果GX上的作用連續,則HG的一個閉子群。特別地,如果G是一個李群,則由嘉當定理H是一個閉李子群。從而G/H是一個光滑流形,並且X帶有與這個群作用相容惟一的光滑結構

如果H是恆同子群{e},則X是一個主齊性空間

例子

對線幾何之例子,我們可將H等同於16-維一般線性群

GL4

的一個12-維子群,由如下矩陣元素的條件定義

h13 = h14 = h23 = h24 = 0,

通過尋找前兩個標準基向量生成的子空間的穩定子。這便證明了X的維數是4。

因為由子式給出的齊次坐標有6個,這意味着後者不是互相獨立的。事實上這六個子式間有一個二次關係,已為十九世紀的幾何學家知道。

這個例子是比射影空間更早發現的第一個格拉斯曼流形。在數學的通常使用中有許多更深入的典型線性群的齊性空間。

准齊性向量空間

准齊性向量空間概念由佐藤幹夫提出。

它是帶有一個代數群G作用的有限維向量空間X,使得存在G的一個軌道在扎里斯基拓撲下是開集(從而稠密)。一個例子是GL1作用在一維空間空間上。

這個定義比它最初出現時更加嚴格:這樣的空間具有不尋常的性質,不可約准齊性向量空間在相差一個稱之為「castling」的轉換下存在一個分類。

物理中的齊性空間

凡用到廣義相對論宇宙學都會使用比安基分類系統。相對論中的齊性空間代表某種宇宙模型的背景度量空間部分;例如弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度量的三個案例可以用比安基I(平坦),V(開),VII(平坦或開)與IX(閉)型子集來代表,而Mixmaster universe英語Mixmaster universe代表一個比安基IX型宇宙的各向異性例子[2]

一個N維齊性空間允許一個由N(N-1)/2 基靈向量場組成的集合[3]。三維時,總共給出了六個線性無關的基靈向量場;齊性3-空間可以使用這些向量場的線性組合,來尋找在任何地方都非零的基靈向量場

這裏為「結構常數」,是一個秩-3張量,兩個下指標反對稱表示共變微分算子。在一個平坦各向同性宇宙情形,可能有(I型),但在閉FLRW宇宙情形,這裏列維-奇維塔符號

參考文獻

  1. ^ 我們假設這個作用在左邊。這個區別只在X作為一個陪集的描述時才重要。
  2. ^ 列夫·朗道and Evgeny Lifshitz, Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann, 1980, ISBN 978-0750627689 
  3. ^ Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, 1972 

參見