跳转到内容

维基百科:台湾教育专案/台大物理系服务学习/112-1/斯托克斯问题

维基百科,自由的百科全书

|- | 斯托克斯问题 || en:Stokes problem || Wu931129讨论 | 贡献) || 中文条目尚未建立 || 撰写中 撰写中⋯⋯ ||

黏滞流体中受固体平面周期振荡的斯托克斯问题(底部黑色边界)。速度(蓝线)和粒子位移(红点)为到平面距离的函数。

在流体动力学中,斯托克斯问题(斯托克斯第二问题),或常称为斯托克斯边界层振荡边界层,是个描述受固体平面振荡所影响的流体行为,以乔治·斯托克斯爵士来命名。这是其中一个有精确纳维-斯托克斯方程式解的简单非稳定问题。[1][2]湍流中,这问题同样被称为斯托克斯边界层, 但须仰赖实验数值解近似法英语approximate methods才能得到有用的流体资讯。

流体描述[3][4]

考虑一个无限大平面,在方向以速度作周期振荡,平面位置为 ,上方充满流体, 是周期振荡的角频率。非压缩性的纳维-斯托克斯方程式可被简化为

其中为流体的运动黏度英语kinematic viscosity。压力梯度未被考虑进此问题中。初始壁上的不滑移条件英语no-slip condition

第二个边界条件是因为的振荡不会影响到无限远处。流体只受平面振荡影响,不考虑压力梯度。

问题解[5][6]

因为周期性,不须考虑初始条件。因为方程式与边界条件皆是线性的,速度函数可以写成某个虚数函数的实数部分

因为

将上式带入偏微分方程式中,可简化为

将边界条件带入

即可得到上式方程式的解为

受振荡平面所影响的扰动以波的形式传播流体,但会受指数项衰减。波的渗透深度随振荡频率下降而上升,随着运动黏度下降而下降。

单位面积因流体而施加在平面上的力为

在力与平面的振荡之间有产生一相位差。

边界附近的窝度振荡

振荡斯托克斯流解的一大重点是窝度英语vorticity振荡受限于狭小边界层中并在远离平面时以指数衰减[7]这个发现同样适用于涡流边界层。在斯托克斯边界层外(充满大部分流体的地方),涡流振荡可以被忽略。作为好的近似, 流速振荡在边界层外是无旋英语irrotational的,且位流理论可用来解释振荡运动的部分。这大大简化了问题,也很常被应用在声波水波的无旋部分。

受制于上平面的流体

若流体受制于位置,固定不动的上平面,那么流速可以被写为

其中

流体受制于自由平面

假设流体区域为处代表一个自由面。其解在1968 被易家训院士[8] 解出,其为

其中

平面附近受周期压力梯度振荡的流体行为

正弦曲线远场速度振荡影响的斯托克斯边界层。蓝县是水平速度,红点则是相对应的水平粒子偏移

对于振荡远场英语far field流的情况,考虑平面静止, 其可以透过先前的解借由线性叠加原理英语linear superposition组合起来。考虑远离平面处波速以振荡,在平面处 。不像先前稳流情况,这边无限远处的压力梯度会是一个时间的周期函数,其解为

z = 0 的地方值为0, 此与平面静止的不滑移条件英语No-slip condition有关。这个解很常在墙壁附近的声波问题碰到,或是水床附近的水波问题。静止平面附近的窝度振荡值与振荡平面的值相同,但差一负号。

圆柱对称下的斯托克斯问题

扭转振荡

考虑无限长、半径为 的圆柱体以角速度 作扭转振荡,是其振荡角频率。那么暂态后的速度会趋向于[9]

其中 第二种形式的修正 Bessel Function。这个解可以被表示为下式的实数部分: [10]

其中

开尔文函数是无单位的振荡雷诺数,定义为,其中是运动黏度。

轴向振荡

若圆柱体在轴向以振荡,其速度场为

其中为修正Bessel Function的第二种形式。

斯托克斯-库埃特流[11]

对于泰勒-库埃特流,除了其中一个平面的平移运动, 其平面的周期运动是可以被运算的。若我们有个在 的静止平面与在 的上表面,受的速度振荡驱动, 其速度场可被写为

单位面积施加在移动平面上的摩擦力为 ,施加在静止的则是

其他相关

参考资料

  1. ^ Wang, C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations. Annual Review of Fluid Mechanics. 1991, 23: 159–177. Bibcode:1991AnRFM..23..159W. doi:10.1146/annurev.fl.23.010191.001111. 
  2. ^ Landau & Lifshitz (1987), pp. 83–85.
  3. ^ Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.
  4. ^ Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.
  5. ^ Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.
  6. ^ Landau, Lev Davidovich, and Evgenii Mikhailovich Lifshitz. "Fluid mechanics." (1987).
  7. ^ Phillips (1977), p. 46.
  8. ^ Yih, C. S. (1968). Instability of unsteady flows or configurations Part 1. Instability of a horizontal liquid layer on an oscillating plane. Journal of Fluid Mechanics, 31(4), 737-751.
  9. ^ Drazin, Philip G., and Norman Riley. The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions. No. 334. Cambridge University Press, 2006.
  10. ^ Rivero, M.; Garzón, F.; Núñez, J.; Figueroa, A. Study of the flow induced by circular cylinder performing torsional oscillation. European Journal of Mechanics - B/Fluids. 2019, 78: 245–251. S2CID 201253195. doi:10.1016/j.euromechflu.2019.08.002 (英语). 
  11. ^ Landau, L. D., & Sykes, J. B. (1987). Fluid Mechanics: Vol 6. pp. 88