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最大与最小元

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60的因数,按整除偏序画成哈斯图。红色子集有两个极大元3、4,和一个极小元1,同时也是最小元。但是,没有最大元。

数学分支序理论中,最大元是某集合中,大于或等于其全体元素的特殊元素。最小元与之对偶英语duality (order theory),小于等于该集合的任何元素。例如,实数集中,最大元是,而最小元是,但是区间并无最大元或最小元。

此处“大小”关系除一般实数的大小关系外,也可以是定义在任意集合上的偏序预序

严格定义

偏序集(或预序集亦可),为其子集。若的元素满足:

的任意元素,皆有

称为最大元(英语:greatest element)。对偶地,若的元素满足:

的任意元素,皆有

称为最小元least element)。

由定义,的最大(小)元必定是上(下)界。且若为偏序集,则集合至多得一个最大元:若皆为最大,则由定义有,又有,由反对称性。所以若有最大元,则必定唯一。[1]若改为预序集则不一定。

整个偏序集的最大最小元又称为top)和bottom)。顶常以符号记作,底则是,在有补格布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合

与极大极小元、上下界之别

集合不一定有最大元,也不一定有上界。即使集合有上界和上确界,也不一定有最大元。举例,实数系中,任何正数皆是负数子集的上界,且为其上确界,但是没有最大元:不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元maximal element)不同:有极大元的集合不一定有最大元,但偏序集若有最大元,则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元minimal element)亦不同。[1]

性质

偏序集为其子集。

  • 有限全序集非空子集必有最大最小元。
  • 若有最大元,则必定是极大元。此时,只有这一个极大元:对任意极大元,由于是最大元,必有,从而由极大知。所以若有多于一个极大元,则不能有最大元。
  • 满足升链条件,则其子集有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
    • “仅当”:最大元必然是极大元。
    • “当”:假设有唯一极大元但没有最大元。因为不是最大,有不可比,又不是极大,所以有某个满足也不可比:若,则与极大矛盾;反之又推出,与不可比又矛盾。重复以上步骤,可得无穷递升链(其中每个皆与不可比,又非极大),与升链条件矛盾。

全序集的最大最小元

假如限制到子集上为全序(如首段附图的),则在中,最大元与极大元等价:若为极大,则对任意其他,必有将与极大矛盾),故是最大元。

所以,全序集中,最大元与极大元两个概念重合,有时也称为最大值maximum),同理最小元与极小元也称为最小值minimum)。但上述用法与实值函数日语実数値関数论的用法略有出入。[2]研究实值函数时,所谓最大值是函数的值域的最大元,又称全域最大值、绝对最大值、最大值。[3]而限制到某点邻域时,对应值域的最大元(等同于极大元)则称为局域最大值、相对最大值、极大值。[4]最大最小值又合称最值极值亦同。

集合的最大最小值分别记作。在格理论概率论中,为方便运算,会将两数之最大最小值(即其组成二元集的最大最小元)简记作。换言之:

[5]

例2之哈斯图
  • 实数集中,全体整数组成的子集没有上界,从而没有最大元。
  • 如图所示,在集合上,定义自反关系使 。则皆是集合的上界,但因为不可比较,没有最小上界。又不可比,没有最大元。
  • 有理数集中,平方小于2的数所组成的子集有上界(如),但没有最大元,也没有上确界。
  • 中,区间有上确界而没有最大元。但区间有最大元,同时也是上确界。
  • 配备积偏序英语product order[注 1],满足(而任意)的二元组的集合没有上界,也没有最大元。
  • 但当配备字典序[注 2]有上界,但仍没有上确界和最大元。

参见

  1. ^ 定义成
  2. ^ 定义成或()。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 松坂 1968,第90-97页.
  2. ^ nLabextremum: 1. Idea.条目
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Global Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Local Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  5. ^ Billingsley, P. Probability and Measure [概率与测度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 (英语).