贝尔特拉米等式

贝尔特拉米等式是变分法中的一等式，由贝尔特拉于1868年发现。它所表达的是，若函数u是以下积分的极值

I(u)=\int _{a}^{b}L(x,u,u')\,dx

则符合以下微分方程：

{\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0.

若L是力学系统中的拉格朗日量，且L并非x的显函数，即拉格朗日量并非时间的显函数，那么，贝尔特拉米等式表明其哈密顿量是一守恒能量。

证明

定义共轭动量p为L的偏微分

p={\partial L \over \partial u'}

{dp \over dx}-{\partial L \over \partial u}=0

即

p'={\partial L \over \partial u}

再定义哈密顿量H为L之勒壤得转换：

H=pu'-L\,

则

H'={dH \over dx}=p'u'+pu''-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial u}u'-{\partial L \over \partial x}

其中第二及第三项相抵，根据p之定义及欧拉-拉格朗日方程，第一及第四项亦相抵，所以给出贝尔特拉米等式：

H'=-{\partial L \over \partial x}

此亦是诺特定理的特例。

若L独立于x，则贝尔特拉米等式说明H为一常数：

-H'={\frac {d}{dx}}\left(L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)=0

此可用作求欧拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恒律解牛顿力学一样。H为常数给出u的一阶导数方程，而欧拉-拉格朗日方程则为u的二阶导数方程。

例如最速降线问题，求最小化以下积分之曲线：

\int _{0}^{1}{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}dx

其中，将积分最小化的函数L与时间无关，

L(y,y')={{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}

故此相关之哈密顿量为常数：

H=py'-L={y'^{2} \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}-{{\sqrt {1+y'^{2}}} \over {\sqrt {y}}}={-1 \over {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}

{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}={\text{constant}}

所以前述方程转化为摆线之微分方程。