分段
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此條目沒有列出任何參考或來源。 (2017年12月16日) |
在數學中,分段定義的函數稱為分段函數,是由多個子函數而定義的,施加到主函數的域的一定的時間間隔的每個子函數(子體)。分段實際上是一種表達函數的方式,而不是函數本身的一個特徵,但是具有額外的限定,可以描述函數的本質。例如,分段多項式函數是在其每個子體上是多項式的函數,但是每個子體上可能是不同的。 字分段也用來描述適用於每件分段定義的函數的任何屬性,但不一定保持為函數的整個域。一個函數是分段微分的或分段連續微分的,如果每個子塊在整個子體內是可區分的,即使整個函數在塊之間的點上可能是不可區分的。在凸分析中,導數的概念可以被分段函數的子導數的概念取代。儘管分段定義中的「塊」不一定是間隔,但是除非是間隔,否則函數不被稱為分段線性、分段連續或分段可微。
符號和解釋
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分段函數使用通用函數表示法來定義,其中函數的主體是函數和相關子體的數組。至關重要的是,在大多數情況下,只有有限數量的子體,每個子體必須是一個區間,以便將整個函數稱為分段。例如,考慮絕對值函數的分段定義:
對於小於零的所有值,使用第一個函數(),它將取消輸入值的符號,使負數為正數。對於x大於或等於零的所有值,使用第二個函數(),它對輸入值本身進行簡單計算。 考慮分段函數在的特定值處計算:
使用的函數 | ||
---|---|---|
-3 | 3 | |
-0.1 | 0.1 | |
0 | 0 | |
5 | 5 |
連續性
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Upper_semi.svg/220px-Upper_semi.svg.png)
如果滿足以下條件,則分段函數在給定的時間間隔內是連續的:
- 它在整個間隔中被定義。
- 其構成函數在該間隔上是連續的。
- 在該區間內的子體的每個端點處不存在不連續性。
例如,圖中的函數在其子體中是分段連續的,但在整個域中是不連續的。圖中的函數包含跳躍不連續性。
應用
在應用的數學分析中,已經發現分段函數與人類視覺系統的許多模型一致,其中在第一階段將圖像感知為包括由邊際分隔的平滑區域。特別是,剪切片已經被用作表示系統來提供2D和3D中該模型類的稀疏近似。
常見示例
分段函數的具體實例包括: