在數學裡,實數系統可以透過不同方式被定義。其中,基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數體。通過集合論公理,可以證明基本方法中給定的公理是絕對的,即是說如果有兩個模型都符合那些公理,那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的,而多數的模型的建立都是藉助於有理數體。
基本方法
一個實數系統由一個集合
,
當中的兩個不同元素 0 和 1 ,
上的兩種二元運算
(分別叫做加法與乘法),以及
上的一個二元關係
(即序關係)構成。
而且這個模型符合以下性質:
是一個域。即
(加法與乘法的結合性)
(加法與乘法的交換性)
(乘法對加法有分配律)
(存在加法單位元素)
(存在乘法單位元素)
(存在加法反元素)
(存在乘法反元素)
是一個全序集。即
(自反性)
若
且
,則有
(反對稱性)
若
且,
,則有
(遞移性)
或
(完全關係性)
上的兩個運算
均與序關係
相容。即
,若
則
(加法下保持次序)
,若
且
,則
(乘法下保持次序)
- 序關係
符合戴德金完備性: 若
的一個非空子集
有上界,那麼
也有上確界。換言之,
- 若
是
的一個非空子集,而且
有上界,那麼
有一上確界
,使得對
的任何上界
,均有 ![{\displaystyle u\leq v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4310c2f58dd7b31add0dbdeaf407bbe1e1a521)
有理數體
符合前三條公理,也就是說
是一個有序體(同時
還滿足阿基米德性,所以
是一個阿基米德有序體),但
不符合最後一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話,它們必然是同構的,所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序體。
附註:當我們說符合以上公理的兩個模型:
和
是同構時,即是指存在一個保持運算和序的對射。
確切地說存在
滿足
是一個對射
及
.
及 ![{\displaystyle f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcce2d1241c1a57ea331018878e236d246be5271)
若且唯若 ![{\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59aef2dbad48ba017d1894469f40717528e57dd)
塔斯基實數公理
另外一種公理化實數的方法由阿爾弗雷德·塔斯基提供,只需要如下所示的8條公理以及4個基本概念:一個稱之為實數集的集合(記作
)、一個稱之為序的二元關係(記作
)、一個稱之為加法的二元運算(記作
)和常數
。
序相關公理
:
- 公理一:如果
成立,那麼
不成立,即「
」為非對稱關係。
- 公理二:如果
成立,那麼存在
使得
與
同時成立,即「
」在實數集稠密。
- 公理三:「
」滿足戴德金完備性,即對所有
,如果對所有
以及
均滿足
,那麼存在
使得對所有
以及
並且有
以及
,總有
與
成立。
加法相關公理
:
- 公理四:
。
- 公理五:對所有
與
,總存在
滿足
。
- 公理六:如果
成立,那麼
或
成立。
常數
相關公理
- 公理七:
;
- 公理八:
。
模型的具體構造
柯西序列
首先我們需要一個定義。設
是一個有理數列,如果對於任何正有理數
,存在一個正整數
使得對於所有的整數
,都有
,則稱
為有理數的柯西序列。
有理數集
配備上度量
(即一般的絕對值)後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程,可以往度量空間加進新點,從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。
以下說明實數集
可定義為
對於度量
的完備化。(關於
在其他度量下的完備化,參見p進數。)
記
為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為:
![{\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173bae29827e8dfb355bf5df4258a71f495bfffd)
![{\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2b3319016daa61bb51b9f6215e9346d6bd5e88)
運算得到的序列依然會是柯西序列[1]。
稱兩個柯西序列是等價的,如果它們之間的差收斂到0。這樣便在
上定義了一個等價關係。以
表示包含序列
的等價類。
設
為包含所有等價類的集合,然後也在
上定義加法和乘法:
![{\displaystyle [(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0726d60ae98310990dae3698a51eb1adb6ab4ee)
![{\displaystyle [(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43fb9fc4a34c7035a1b4f13105448495b7cf3e)
同樣地,這兩個運算是良好定義的。
可以證明
是一個域。我們可以把
嵌入到
——只要把有理數
對應於
便可。
實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的:
稱一個實數是正的,即
,若且唯若存在自然數
和正有理數
,使得對一切
有
。稱
若且唯若
。
較難推導的是
的完備性,具體可以參考[1]。
常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列,比如說,
的記法意味著
是柯西序列
的等價類。等式
則斷定了序列
和
是等價的,即它們之間的差收斂到
。
把
作為
的完備化有一個好處,那就是這種方法並不限於此例;對於其他度量空間也是適用的。
戴德金分割
實數可定義為有理數集上的戴德金分割,即是有理數集的一個劃分
,其中
都非空,而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見,不妨把劃分
以其下組
來代表,因為給定了
就唯一確定了
。所以直觀上,實數
能被
所代表。
具體而言,一個實數
是
的符合以下條件的一個子集:[2]
是非空集合
![{\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69ab70069c15e74db10ae13da3235fa27dbdac8)
是向下封閉的,即:![{\displaystyle \forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defaec0efd4eb7b7fbc5945cc5b9586aa4f8ce67)
沒有最大元。也就是說,不存在
,使得對任何
有![{\displaystyle y\leq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de6a6e4f44d9dfcbfaadbdcf388d4b8a6fed109)
- 記
為所有實數的集合,也就是說它包含了所有
上的戴德金分割。然後在
上定義這樣一個全序:![{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f4f37413b587896d2f7406e2fb163a9850aadf)
- 有理數可以嵌入到
裡,透過把
對應於集合
。[2] 因為有理數在有理數集內是稠密的,所以這個集合沒有最大元,並滿足上述的各條件。
- 加法:
[2]
- 減法:
,其中
代表
在
裡的補集,即![{\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166f1b4ef654de75dd5c194b20deb7837e43e946)
- 負號是減法的特例:
![{\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4cb97d4846de4ee736d352ebf07bb2ce94749e)
- 乘法的定義較不直觀:[2]
- 若
,那麼![{\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24807ee10d9e6d8374df07e1a49cbc8ea2d917f)
- 若
和
中有一個是負的,可以透過
這定義式,把
,
轉化為正數的情況,再採用上面的定義來計算。
- 類似地定義除法為:
- 若
,則![{\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be23430ebb1de221541a48d8a6a9786c1d4223f)
- 若
和
中有一個是負的,可以藉助
的定義式,把
換成非負數,以及把
換成正數,再採用上面的定義來計算。
- 上確界:如果
的非空子集
有上界的話,那麼可以證明
便是其上確界。[2]
以下示範如何以戴德金分割代表根號2:設
。[3]
首先,對於任何自乘小於2的正有理數
,都存在一個大於x的有理數
,而且有
。選擇
便可。所以我們證明了
是一個實數。
要證明
成立,只需指出如果
是小於2的有理數,那麼存在正的
,且
。
這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。
小數記法
西蒙·斯蒂文[4] 首先提出了以小數來代表一切數(即現今的實數)的想法。具體地,可以將無限小數展開式作為實數的定義,然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的,再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的,而且它還給出了明確的收斂模。這種方法不限於十進制,其他的進位制也是適用的。
用小數來構造的好處是,這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明「完全有序體的所有模型都同構」的標準做法便是,說明任意模型都同構於這個模型,因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。
超實數
首先,透過超濾子從有理數構造出超有理數體*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界(或者說有限)元素所組成的環B。 B 有著唯一的極大理想 I,即無窮小量。商環 B/I 給出了實數體
。 注意B 並不是*Q的一個內在集合。
此外,這種構造在自然數集上使用了非主超濾子,而其存在性是依賴於選擇公理的。
這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序體。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。
超現實數
每個有序體都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子體(意味著沒有實數是無窮大量)。這種嵌入方式並不是唯一的,儘管有標準的一種方式。
透過整數集(歐多克索斯實數)
一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。[5][6][7] 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。[8] Shenitzer[9]和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。
設
為一函數,若然
是有限集,則稱f為殆同態。稱兩個殆同態
是 幾乎相等的,如果集合
是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類,可簡單記為[f]。實數的加法,對應於殆同態的加法運算;實數的乘法,則對應於殆同態的複合運算。最後,稱
,若
是有界的,或者
在
上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。
參見
參考資料