廣義超幾何函數(generalized hypergeometric function),有時也稱超幾何函數,是一個用冪級數定義的函數,其中冪級數的係數由若干個升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函數」一詞代指廣義超幾何函數,而用「高斯超幾何函數」一詞代指 p=2、 q=1 時的廣義超幾何函數。
定義與記號
超幾何函數是用冪級數定義的:
![{\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}{\frac {z}{1!}}+\beta _{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ab0d0a151af3ba2b3639e7c665742acda64477)
其中相鄰兩項的係數之比 βn+1/βn 是關於 n 的有理函數,分子和分母都可以表示成若干個一次函數的乘積。一般要求分子和分母的多項式的最高次係數均為 1,並取 β0=1,於是
![{\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i}+n)}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i}+n)}},\quad \forall n\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c5724ee0a567becbb2c5e0681c097e51a48022)
於是用階乘冪可以將 βn 表示為
![{\displaystyle \beta _{n}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f741b4a0d40481536cb05841385977d3b5a1f8)
一般用下面的記號來表示超幾何函數:
![{\displaystyle _{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a601ddfb472685a89a853e07afa9409ed509735)
當 ai 都不是非正整數(即負整數和 0)時,要求所有的 bi 都不是非正整數。當有至少一個 ai 是非正整數,且其中最大(絕對值最小)者為 k 時,超幾何函數將截斷為 -k 次多項式,這時允許 bi 中存在非正整數,但要求這些非正整數都小於 k。這都是為了保證在所有的 βn中,分母不為零。
斂散性
下面討論用來定義超幾何函數的冪級數以零為中心的收斂半徑。
當超幾何函數截斷為多項式時,顯然收斂半徑是無窮大。
除去這種特殊情況之外,用比值審斂法可知,當 p<q+1 時,收斂半徑為無窮大,當 p=q+1 時,收斂半徑為 1,剩下的情況收斂半徑為 0(這時一般把超幾何函數中對應的冪級數視作漸近級數,而函數本身則採用其它方式定義,如積分表達式)。
當級數的收斂半徑為 1 時,級數在單位圓外不收斂,但仍然可以通過解析延拓來定義超幾何函數的值。另外,此時在單位圓上的斂散性較為複雜,不能使用比值審斂法,必須使用高斯審斂法來判斷,結果如下,令
![{\displaystyle \gamma _{q}=\sum _{k=1}^{q}b_{k}-\sum _{k=1}^{p}a_{k},\quad r=\Re (\gamma _{q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e768f9dbbc723696c93afa258a24c7ea9ef4fc5)
則
- 當 r>0 時,級數在單位圓上絕對收斂;
- 當 0≥r>-1 時,級數在單位圓上除 z=1 外收斂,但不絕對收斂;
- 當 -1≥r 時,級數在單位圓上發散。
積分表達式
複數平面上的路徑積分可以用來定義所有 ak 都不是非正整數時的廣義超幾何函數,包括上面說到的 p≥q+1 的情形。
下面只介紹 p+1>q 且級數不截斷為多項式的情形(其它情形下,上面的冪級數定義已經是良好的定義,而下面的積分不收斂),這時超幾何函數可以定義為:
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d184c5c794c2f2c11cbc2cf2959157658c2b06d)
當 p=q 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數既可以用上面的積分來定義,也可以用超幾何級數定義。可以證明,兩種定義是等價的,且定義出來的超幾何函數都是整函數;
當 p=q+1 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數既可以用上面的積分來定義,也可以用超幾何級數定義,但級數定義只在 |z|<1 時有效,在這個區域內,兩種定義是等價的,上式提供了級數定義的一個解析延拓;
當 p>q+1 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數只能通過積分表達式定義,對應的超幾何級數只在 z =0 處收斂,其它情況均發散,它是積分定義的超幾何函數在 z=0 處的漸近級數,即
![{\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375aba070281795dc36c3a42661626b42544da95)
超幾何函數的性質
特殊值
![{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};0\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732b7c4ae04e41f09e885f9cf8d5c3723ef7a766)
歐拉積分轉換
![{\displaystyle {}_{p+1}F_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p},c\\b_{1},\ldots ,b_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{array}};tz\right]dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfa4e8a3e2955047362a5fab5e8fedff7380ba7)
導函數
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e5f5589ca829bfbb3f82698f930b9006b49cd)
由上面三個關係式可以得到超幾何函數滿足的微分方程式:
.
特例
0F0
就是指數函數。
![{\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7240ab48b322df73458156a81950b31f12f7a57)
1F0
![{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02835bd6054a3a63e1e6672b62bcb86aa3e62a5b)
0F1
稱為合流超幾何極限函數(confluent hypergeometric limit functions),與貝索函數有密切關聯。
![{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot {}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1631fadff3c6ae717a43da94a5f45f7f5591fc16)
1F1 和 2F0
1F1 就是(第一類)合流超幾何函數,也稱 Kummer 函數。
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67782c87b72c6208df42fb457534e078a7e95d64)
另一方面,2F0 (此函數的級數表達式不收斂,因此必須通過積分表達式定義)與第二類合流超幾何函數(又稱Tricomi 函數)有如下關係:
![{\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39e6c5710fbd6d3c0b5a49285f5d46217ece24f)
事實上,它們都可以表示為高斯超幾何函數的極限,
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce6e5a059c04293dc0159a2763fb6006c78440)
![{\displaystyle {}_{2}F_{0}(a,b;;z)=\lim _{c\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;cz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d95cfafd8d376375523205b121fbb023579c03d)
類似地,pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的極限。
不完全伽瑪函數與這兩個函數有關聯:
![{\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859ef42ade08f7c55e3886057eafcc7db918e2c)
![{\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fec14d53e582e7ad346c28f71b93daf7c88a2e)
2F1
就是高斯超幾何函數,一般又簡稱超幾何函數。
多重對數函數
當 s 為非負整數時,多重對數函數 Lis 可以用超幾何函數表示:
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c01e104b0f2f9a0aadeada158721b9efe9dbb52)
參考
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113
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