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四維多胞體

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在四維幾何學中,四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形[1][2], 其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。 這些多胞體的組成元素可分為頂點(多邊形)、胞(多面體)。 每個面都與兩個胞相鄰。 四維多胞體最早由瑞士數學家路德维希·施莱夫利在1853之前發現。[4]

四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體

從拓樸學的觀點來看,四維多胞體與三維堆砌體密切相關,如立方體堆砌,其為三維空間的空間填充;類似地,三維立方體也與二維的正方形鑲嵌有關。 凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的展開圖

定義

四維多胞體是一個封閉的四維幾何結構。其由頂點(角點)、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比,也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞,類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。[5]另外,也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣,四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件,也就是說,其不能為複合體。

幾何

四维凸正多胞体是三維柏拉圖立體四維空間的類比。最常見的就是超立方體立方體的四維類比。[6]

四维凸正多胞体可以在相同半徑的條件下,依其大小(超體積)排序。序列中每一個幾何結構都比前一個更圓、更接近超球體,在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間 [7]正五胞體是最小的情況,而正一百二十胞體是最大的情況。其結構複雜度(透過比較排佈矩陣英语Configuration_(polytope)或簡單的頂點數量來衡量)也依照這個順序排列。

四維凸正多胞體
對稱群 A4 B4英语Hyperoctahedral_group F4英语F4 (mathematics) H4英语H4 polytope
名稱 正五胞體

四面體

正十六胞體

八面體

四維超正方體

立方體

正二十四胞體
正六百胞體

二十面體

正一百二十胞體

十二面體

施萊夫利符號 {3, 3, 3} {3, 3, 4} {4, 3, 3} {3, 4, 3} {3, 3, 5} {5, 3, 3}
考克斯特記號 node_1 3 node 3 node 3 node  node_1 3 node 3 node 4 node  node_1 4 node 3 node 3 node  node_1 3 node 4 node 3 node  node_1 3 node 3 node 5 node  node_1 5 node 3 node 3 node 
鏡像二面角 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
頂點 5個正四面體狀 8個正八面體狀 16個正四面體狀 24個立方體狀 120個正二十面體狀 600個正四面體狀
10個正三角形分布 24個正方形分布 32個正三角形分布 96個正三角形分布 720個正五邊形分布 1200個正三角形分布
10個正三角形 32個正三角形 24個正方形 96個正三角形 1200個正三角形 720個正五邊形
5個正四面體 16個正四面體 8個立方體 24個正八面體 600個正四面體 120個正十二面體
Tori 1個5-四面體 2個8-四面體 2個4-立方體 4個6-八面體 20個30-四面體 12個10-十二面體
大多邊形 2 𝝅/2 3個正方形 4 𝝅/2 3個矩形 4 𝝅/3 4個正六邊形 12 𝝅/5 6個十邊形 50 𝝅/15 4個十二邊形
皮特里多邊形 1個物邊形 1個八邊形 2個八邊形 2個十二邊形 4個三十邊形英语30-gon#Petrie polygons 20個三十邊形英语30-gon#Petrie polygons
長半徑
邊長
短半徑
面積
體積
(超表面積)
超體積

拓樸特徵

四維超正方體施萊蓋爾圖英语Schlegel diagram

四維多胞體的拓樸特徵由貝蒂數和扭轉係數定義。[8]

用於描述多面體的歐拉特徵數並不能有效地推廣到更高的維度,對於所有四維多胞體而言,無論其有合拓樸結構,歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構,因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。[8]

同樣地,多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況,因此需要使用扭轉係數來描述。[8]

分類

標準

四維多胞體可以依照其特性進行分類,例如凹凸性和對稱性。

  • 凸的四維多胞體代表其邊界(包含胞、面和邊)不會自我相交,且任兩點連線皆位於整個幾何結構內部或正好落在其邊界上,若無法滿足上述條件則這個四維多胞體就是非凸的。自我相交的四維多胞體又被稱為四維星形多胞體,其可以視為星形多邊形星形多面體在四維空間的類比。[9]
  • 正的四維多胞體代表其標記可以在其對稱性上傳遞,這意味著該四維多胞體所有胞全等、所有面全等、所有邊等長所有頂點圖全等,其可以視正多面體的類比。[3]
  • 半正的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性(點可遞),且其胞都是正多面體。半正四維多胞體可以有不只一種的胞,但前提是其皆要由同一種面來構成。索羅德·戈塞特英语Thorold Gosset在1900年只發現了三種半正四維多胞體,分別為截半正五胞体截半六百胞體英语Rectified 600-cell扭稜二十四胞體英语Snub 24-cell[10]
  • 均勻的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性,且其胞都是均勻多面體,其面也要是正多邊形。
  • 三維空間的堆砌體是將三維歐幾里得空間劃分為以多面體為胞的重複性網格。這樣的空間填充是無限的,且並不具有四維超體積,是四維無限胞體的例子。均勻三維堆砌體是指頂點圖全等並與某個空间群相關聯,且其胞為均勻多面體。

類別

下面列出了依上述標準分類的四維多胞體:

截角正一百二十胞体是47個非柱狀四維均勻多胞體英语Uniform 4-polytope之一
四維均勻多胞體英语Uniform 4-polytope點可遞
其他凸四維多胞體
  • 多面體錐
  • 多面體雙錐
  • 多面體柱
基於歐幾里得三維堆砌體的四維均勻無限胞體
基於雙曲空間三維堆砌體的四維均勻無限胞體
  • 76個威佐夫雙曲空間填充,也包括:
    • 4個正緊湊雙曲空間填充:{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
均勻四維多胞體對偶胞可遞
其他
四維抽象多胞形英语Abstract polytope

參見

參考文獻

  1. ^ Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674 [2022-12-19]. ISBN 978-3-540-85977-2. (原始内容存档于2023-01-09). 
  2. ^ Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598 [2022-12-19]. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. (原始内容存档于2023-01-09). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Coxeter, H.S.M. [[:正多胞形 (書籍)|Regular Polytopes]]英语Regular Polytopes (book)]] 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.  网址-维基内链冲突 (帮助)
  4. ^ Coxeter 1973[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.
  5. ^ Allen Liu. Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions (PDF). www.math.harvard.edu. [2022-12-23]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-01). 
  6. ^ The Tesseract - a 4-dimensional cube. www.cut-the-knot.org. [2020-11-09]. (原始内容存档于2022-12-12). 
  7. ^ Coxeter 1973[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  9. ^ Coxeter, H.S.M. Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ). Elemente der Mathematik. 1989, 44 (2): 25–36 [2022-12-23]. (原始内容存档于2022-01-30). 
  10. ^ Gosset, Thorold英语Thorold Gosset. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. Messenger of Mathematics (Macmillan). 1900. 
  11. ^ Uniform Polychora页面存档备份,存于互联网档案馆), Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005