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不失一般性

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不失一般性(without loss of generality,缩写:WLOG、WOLOG)是数学证明中的一种用词,表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设,但是其仍然充分证明了原命题,而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。[1]

例子

舒尔不等式声称,对于任意非负实数和正数都有:

对其的证明便可以假设:

不失一般性,设

因为实数集上的全序关系六种情况中中至少有一种成立。舒尔不等式的对称性使得在之间交换名字仍会得到完全相同的不等式。只需有以上任意一种情况下的证明,则任一其他情况下均可以简单地通过变换该证明中的字母而得证。因此证明中可以假设,而略去其他情况下的证明。[1]

一些可以直接地被变换为另一种更简单形式的命题,其证明中也可用到该词。如代数基本定理

任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数

其证明可以假设:

不失一般性,设该多项式最高次项的系数为[2]

因为该多项式最高次项原本的系数不为,而多项式乘以任意常数均不改变其根的性质,故可以作出此假设。

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. (原始内容存档于2023-12-25). 
  2. ^ Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. (原始内容存档于2023-12-25). 

參見

外部連結