幾何學的佩多不等式,是關連兩個三角形的不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為
,面積為
,第二個三角形的邊長為
,面積為
,那麼:
,
等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;
也就是
。
证明
![{\displaystyle 16f^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9cdaf7536302f8e93bd9a64bbbb84c473984ec)
![{\displaystyle 16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edfd5b5193ad321fe6340b59089e789ff86b943)
再由柯西不等式,
![{\displaystyle 16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4695d3772c6a8387c6a87088fa88e7c5abffa97)
![{\displaystyle \leq {\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca29b7477ab1d2f591881124ce993a760ff2f7e5)
![{\displaystyle =(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee39eb3225cae6e2dd0136bfb470c9d48e0665a)
于是,
![{\displaystyle 16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70460182d1d3d554d79cca5128b4ab6e9bdbc5f1)
![{\displaystyle =A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80df8cd3e3485f1af3b7e56d49d9849e4d8f4610)
命题得证。
等号成立当且仅当
,也就是说两个三角形相似。
ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC与B'C'重合
三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数
,使得
,几何意义是将第二个三角形取相似(如右图)。
设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。
考虑 AA' 的长度。由余弦公式,
![{\displaystyle AA'^{2}=AB^{2}+BA'^{2}-2AB\cdot BA'\cos(\angle B-\angle B')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef1cf5f059327305c8cbba74334f54ddfd55aa7)
![{\displaystyle =c^{2}+z^{2}-2cz(\cos \angle B\cos \angle B'+\sin \angle B\sin \angle B')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927d52764ee50284c08bee21fa8e41078412b4f9)
将
,
代入就变成:
![{\displaystyle 0\leq AA'^{2}=c^{2}+z^{2}-2cz\left[{\frac {(a^{2}+c^{2}-b^{2})(x^{2}+z^{2}-y^{2})}{4acxz}}+{\frac {4F'f}{acxz}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd882305bc123c9a5ee0f3d009a05669afd0110)
两边化简后同时乘以
,并注意到a=x,就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合,即两个三角形相似。
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